Information Technology Reference
In-Depth Information
Pi
Pi
Pi
= …
= …
= …
3 016
3 121
3 136
,
,
,
8
16
32
Der Trick mit den Vielecken wurde seitdem immer weiter
ausgereizt. Der Mathematiker
Ludolph van Ceulen
(1540-
1610) berechnete hiermit im Jahre 1610 die Zahl Pi auf
35 Dezimalstellen. Zur damaligen Zeit war dies eine derartig
beeindruckende Leistung, dass die Zahl Pi seitdem auch als
„Ludolph'sche Zahl“ bekannt ist. Van Ceulen selbst ließ sich
diese 35 Stellen auf seinem Grabstein eingravieren.
Auch vielen anderen europäischen Kulturen war die Zahl
Pi bekannt. Der chinesische Mathematiker
Hui
berechnete Pi
auf den Wert 3,14159. Hierzu approximierte er einen Kreis
mit regulären Polygonen mit 3 × 2
n
Seiten. Er hatte somit
ein iteratives Verfahren, mit dem man Pi beliebig genau ap-
proximieren konnte. Der indische Mathematiker
Ãryabhata
schrieb 498 ein Mathematiklehrbuch, in dem er das mathe-
matische Wissen seiner Zeit in Versen niederschrieb. Vers 10
lautet:
Abb. 3.22
Berechnung von Pi (Kreis angenähert durch Quadrat)
Einhundertvier mal acht, dazu zweiundsechzigtausend, ist nähe-
rungsweise der Kreisumfang für den Durchmesser eines Zehn-
tausenderpaares.
Durch Einsetzen in die Gleichung für
s
2n
erhält man
2
s
2
n
2
2
s
=+=− −
d
24
s
2
n
n
4
Dies ergibt einen Wert für Pi von 62.832/20.000.
Erstmals wurde „Pi“ als Bezeichnung für die Kreiszahl
von dem Mathematiker
William Jones
(1675-1749) ver-
wendet. Er führte sie ein, weil die griechischen Worte für
Randbe reich (
periferia
) und Umfang (
perimeter
) mit diesem
Buchstaben beginnen.
Johann Heinrich Lambert
(1728-1777) bewies im Jahre
1761 die Irrationalität der Zahl Pi, d. h. dass sich Pi nicht
als Verhältnis (Bruch) von ganzen Zahlen darstellen lässt.
Er machte damit das Bestreben vieler damaliger Mathe-
matiker zunichte, die der Meinung waren, dass für Pi eine
relativ einfache Darstellung als Bruch existieren würde, die
man nur noch inden müsse. Lambert vermutete auch be-
reits, dass Pi sich auch nicht mit einer algebraischen Glei-
chung (mit rationalem Koefizienten) darstellen lässt, also
transzendent ist. Der Beweis dieser Vermutung gelang erst
Ferdinand von Lindemann
(1852-1939) Ende des 19. Jahr-
hunderts.
Die Jagd nach der Zahl Pi geht jedoch bis heute weiter.
Einen weiteren Rekord stellte im Jahre 1875 der Engländer
William Shanks
(1812-1882) mit 707 Dezimalstellen auf, die
er alle mit der Hand berechnete. Die erste vollautomatisierte
Berechnung erfolgte durch den Sohn von Charles Babbage im
Jahre 1910 auf der zum Teil von ihm fertiggestellten Analytic
Engine.
John W. Wrench
durchbrach mit Computer-Unter-
stützung im Jahre 1949 erstmals die 1000er-Grenze und be-
rechnete im Jahre 1961 die Zahl Pi auf 100.265 Stellen. Seit
den 1980er-Jahren stellte vor allem der Japaner
Yasumasa
und damit für s
2n
2
s
=−−
24
s
2
n
n
Die Berechnung von Pi beginnt mit dem einfachen Quad-
2
2
2
s
+=
s
2
4
4
und man erhält für
s
4
s
4
=
2
Der Umfang
U
ist 4
s
4
(ns
n
) und gemäß der Formel
Ur
= 2Pi
und dem Wert 1 für
r
erhält man
Pi =
U
/2
Approximiert man also den Umfang eines Kreises durch
den Umfang des in ihn eingeschriebenen Quadrates, so ergibt
sich für Pi der Wert Pi
4
= 2,828.
Jetzt kann man nacheinander die Größen
s
8
, s
16
usw. be-
stimmen und einsetzen. Man erhält nacheinander für Pi:
