Quaternion Transforms in Space - Rotation Transforms for Computer Graphics - page 163

therefore,

s 2

2

2 s 2

−| v | = − 1

and

+ 2 s 2 1 u qpq − 1 = 2 ( v · u ) v − + 2 s v × u .

u ) v , ( 2 s 2 We can now represent the three terms 2 ( v · − 1 ) u and 2 s v × u as three

individual matrices, which can be summed together:

2 ( v · u ) v = 2 (xx u + yy u + zz u )(x i + y j + z k )

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

2 x 2

2 xy 2 xz x u

y u
z u

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 y 2

=

2 xy 2 yz

2 z 2 2 xz 2 yz

2 s 2

1 u = 2 s 2 1 x u i + 2 s 2 1 y u j + 2 s 2 1 z u k

− − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

2 s 2 − 1 0 0 x u

y u
z u

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 s 2

= −

0 1 0

2 s 2 0 0 − 1

2 s (yz u − yx u ) k

× = +

(zx u −

+

(xy u − 2 s v u zy u ) i xz u ) j

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

0 − 2 sz 2 sy x u

y u
z u

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

= 2 sz 0 − 2 sx

− 2 sy 2 sx 0

Adding these matrices together produces

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

2 (s 2 x 2 ) + − 1 (xy − sz) 2 (xz + sy)

x u
y u
z u

qpq − 1

⎣

2 (s 2 y 2 )

⎦ ⎣ ⎦

= 2 (xy + sz) + − 1 (yz − sx)

2 (s 2 z 2 ) 2 (xz − sy) 2 (yz + sx) + − 1

(11.3)

or

⎡
⎣

⎤
⎦

⎡
⎣

⎤
⎦ .

2 (y 2 + z 2 ) 1 − 2 (xy − sz) 2 (xz + sy)

x u
y u
z u

qpq − 1 2 (x 2 z 2 )

=

2 (xy + sz) 1 − + 2 (yz − sx)

2 (x 2 y 2 ) 2 (xz − sy) 2 (yz + sx) 1 − +

(11.4)
To compute the equivalent matrix for q − 1 pq all that we have to do is reverse the
sign of 2 s v

× u :

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

2 (s 2 + x 2 ) −

1 2 (xy + sz) 2 (xz − sy) x u

y u
z u

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

q − 1 pq 2 (s 2 y 2 )

=

2 (xy − sz) + − 1 2 (yz + sx)

2 (s 2 z 2 )

2 (xz + sy) 2 (yz − sx) + − 1

(11.5)

or