Frames of Reference in Space - Rotation Transforms for Computer Graphics - page 154

Rotating a frame about an off-set axis

⎡
⎣

⎤
⎦

1 0 0 0

0 cos α sin α − t y cos α − t z sin α

R − 1

α,x T − 1

0 ,t y ,t z =

0 − sin α cos α − t z cos α + t y sin α

0 0 0 1

⎡
⎣

⎤
⎦

cos α 0 − sin α − t x cos α + t z sin α

01 0 0

R − 1

α,y T − 1 t x , 0 ,t z =

sin α 0 cos α − t z cos α − t x sin α

00 0 1

⎡
⎣

⎤
⎦

− −

cos α sin α 0 t x cos α t y sin α

− − +

sin α cos α 0 t y cos α t x sin α

α,z T − 1

R − 1

t x ,t y , 0 =

.

0 0 1 0

0 0 0 1

Rotating a frame using a composite transform

⎡ ⎤

c γ c β c γ s β s α + s γ c α − c γ s β c α + s γ s α

R − 1

γ,z R − 1

β,y R − 1

⎣ ⎦ .

α,x =

− s γ c β − s γ s β s α + c γ c α s γ s β c α + c γ s α

s β − c β s α c β c α

Rotating and translating a frame

⎡
⎣

⎤
⎦

c γ c β c γ s β s α + s γ c α − c γ s β c α + s γ s α 0

− s γ c β − s γ s β s α + c γ c α s γ s β c α + c γ s α 0

R − 1

γ,z R − 1 β,y R − 1 α,x T − 1

t x ,t y ,t z =

s β − c β s α c β c α 0

0 0 0 1

⎡
⎣

⎤
⎦

100 − t x

010 − t y

× .

001 t z

000 1

−

Rotating a frame about an arbitrary axis

⎡ ⎤

a 2 K + cos α bK + c sin αacK − b sin α

R − 1
α,

⎣ ⎦

2 K +

n =

abK − c sin α cos α bcK + a sin α

ˆ

2 K

acK + b sin αbcK − a sin α + cos α

K = 1 − cos α

n ˆ = a i + b j + c k .