Rotation Transforms in Space - Rotation Transforms for Computer Graphics - page 141

9.7.1 Summary of Matrix Transforms

Translate a point

⎡
⎣

⎤
⎦

100 t x
010 t y
001 t z
000 1

T t x ,t y ,t z = .

Rotate a point about the x - , y - , z -axes

⎡
⎣

⎤
⎦

1 0 0 0

0 cos β − sin β 0

R β,x =

0 in β cos β 0

0 0 0 1

⎡
⎣

⎤
⎦

cos β 0 in β 0

01 00

R β,y =

− sin β 0 cos β 0

00 01

⎡
⎣

⎤
⎦

cos β − sin β 00

sin β cos β 00

R β,z = .

0 0 1 0

0 0 0 1

Rotate a point about off-set x - , y - , z -axes

⎡
⎣

⎤
⎦

1 0 0 0

0 cos β − sin β y ( 1 − cos β) + t z sin β

T 0 ,t y ,t z R β,x T 0 , − t y , − t z =

0 in β cos β z ( 1 − cos β) − t y sin β

0 0 0 1

⎡ ⎤

cos β 0 in β x ( 1 − cos β) − t z sin β

⎣ ⎦

01 0 0

T t x , 0 ,t z R β,y T − t x , 0 , − t z =

− sin β 0 cos β z ( 1 − cos β) + t x sin β

00 0 1

⎡
⎣

⎤
⎦

cos β − sin β 0 t x ( 1 − cos β) + t y sin β

− −

sin β cos β 0 t y ( 1 cos β) t x sin β

T t x ,t y , 0 R β,z T − t x , − t y , 0 = .

0 0 1 0

0 0 0 1

Rotate a point about an arbitrary axis
p =

p cos α + ˆ n ( n ˆ · p )( 1 − cos α) + ˆ n × p sin α

⎡ ⎤

a 2 K + cos α bK − c sin αacK + b sin α

⎣ ⎦

2 K +

R α, n = abK + c sin α cos α bcK − a sin α

2 K

acK − b sin αbcK + a sin α + cos α

K = 1 − cos α

n ˆ = a i + b j + c k .