Rotation Transforms in Space - Rotation Transforms for Computer Graphics - page 136

From Fig. 9.10 we compute the sin and cos of θ and φ in terms of a , b and c , and
then compute their equivalent sin 2 and cos 2 values:

1

cos 2 θ b 2

b 2

cos θ = − ⇒ = 1 −

sin 2 θ = b 2 sin θ = b ⇒

a/ 1

a 2 / 1 b 2

cos 2 φ

b 2

cos φ = − ⇒ = −

c/ 1

c 2 / 1 b 2 .

sin 2 φ

b 2

sin φ = − ⇒ = −

To find a 11 :

cos 2 φ cos 2 θ cos 2 φ sin 2 θ cos α sin 2 φ cos α a 11 = + +

a 2 b 2
1

c 2

= a 2 + cos α + cos α

−

b 2

−

b 2

1

c 2 cos α

a 2 b 2 +

a 2 = +

b 2 1 −

but

a 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b 2

+ + = ⇒ = − −

1 1

1 cos α

a 2 b 2 a 2 b 2 − − +

a 2 a 11 = +

1 − b 2

( 1 cos α

a 2 )( 1 b 2 )

− −

a 2 = +

b 2 1 −

= a 2 ( 1 − cos α) + cos α.

Let

K = 1 − cos α

then

a 2 K

a 11 = + cos α.

To find a 12 :

a 12 = cos φ cos θ sin θ − cos φ sin θ cos θ cos α − sin φ cos θ sin α

b 2 1 b 2 b 1 b 2 1

a a c

= √ 1 − b 2 b − √ 1 − b 2 cos α − √ 1 − b 2 sin α

− − −

= ab − ab cos α − c sin α

= ab( 1 − cos α) − c sin α

a 12 = abK − c sin α.