Environmental Engineering Reference
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Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich daraus zu:
∑
°
x
2
2
·
s
2
∏
Z
Z
x
0
°1
f
(
x
)
·
d
x
=
x
0
°1
exp
1
F
(
x
0
)
=
p
·
·
d
ª
(11.57b)
s
·
2
·
º
Weibull-Verteilung:
Die Weibull-Verteilung stellt eine Extremwertverteilung, bezogen auf ein
zu erwartendes Minimum eines Zufallsprozesses, dar. Sie wird insbesondere für Windver-
teilungen, Lebensdauerberechnungen von Konstruktionen oder bei Werkstoffuntersuchun-
gen verwendet. Durch die Veränderung ihrer Parameter lässt sie sich an sehr viele unter-
schiedliche Verteilungen anpassen. Die Häufigkeitsverteilung der Weibull-Verteilung lautet:
8
<
µ
∂
∑
µ
∂
∏
m
°
1
·
exp
m
:
m
x
°
x
u
x
0
x
°
x
u
x
0
·
°
für
x
∏
x
u
f
(
x
)
=
x
0
(11.58a)
0
für
x
<
x
u
mit:
x
0
= Nennwert der untersuchten Größe;
x
u
= untere Erwartungs- oder Versagensgren-
ze der untersuchten Größe;
m
= Weibull-Modul (je größer der Modul, umso „spitzer“ ist
die Häufigkeitsverteilung bzw. umso steiler ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, siehe
Bild 5.16)
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung erhält man danach:
∑
µ
∂
∏
8
<
:
m
x
°
x
u
x
0
Z
x
1
°
exp
°
für
x
∏
x
u
F
(
x
)
=
f
(
x
)
·
d
x
=
(11.58b)
0
0
für
x
<
x
u
Rayleigh-Verteilung:
Die Rayleigh-Verteilung beschreibt bestimmte Zufallsprozesse, wie
z. B. die Verteilung der Wellenhöhen eines natürlichen Seegangs. Sie ist ein Spezialfall
der Weibull-Verteilung mit dem Weibull-Modul
m
=
2 und der unteren Erwartungsgrenze
x
u
=
0.
Die Häufigkeitsverteilung der Rayleigh-Verteilung lautet:
∑
°
º
4
µ
∂
2
∏
f
(
x
)
=
x
·
º
x
M
·
2
x
x
M
·
exp
·
für
x
∏
0
(11.59a)
mit:
x
M
= Referenzwert (z. B. mittlere Windgeschwindigkeit)
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich zu:
∑
µ
∂
∏
2
°
º
4
x
x
M
F
(
x
)
=
1
°
exp
·
für
x
∏
0
(11.59b)
Die Momente aus den Verteilungen ergeben sich nach:
Z
Z
1
1
x
n
·
f
(
x
)
·
d
x
m
0
=
f
(
x
)
·
d
x
;
m
n
=
(11.60)
0
0
mit:
f
(
x
) = Häufigkeitsverteilung;
m
0
= Moment 0-ter Ordnung, die Momente höherer (
n
-
ter) Ordnung werden analog bestimmt
