Offshore-Windenergie - Einfuhrung in die Windenergietechnik - page 430

nichtlinearen Wellentheorien sowie bei realen Wellen ist das nicht mehr der Fall. Während
die einzelnen Wasserpartikel nach einem Wellendurchlauf die gleiche Höhe = z -Koordinate
haben, findet in x -Richtung ein Fortschreiten der Wasserpartikel statt, da die Geschwindigkeit
der Wasserpartikel in der Welle u. a. tiefenabhängig ist. Im Wellenberg ist die Vorwärtstrans-
portgeschwindigkeit größer als die Rückwärtsgeschwindigkeit imWellental, da die Wasserpar-
tikel dort eine kleinere z -Koordinate ( z =° H /2) haben, d. h., die Bahnkurven sind nicht mehr
geschlossen.
Die Transportgeschwindigkeit der Wasserpartikel beträgt in Wellenfortschrittsrichtung:

µ ∂

2 · c

º · h ( z )
L

±

u ( z ) = (11.42)

Sie klingt mit der Tiefe wegen h ( z ) = 2 · r ( z ) rasch ab.

11.3.1.2 Nichtlineare Wellentheorien
Die nichtlinearen Wellentheorien werden für die genauere Berechnung der Geschwindigkei-
ten und Beschleunigungen der Wasserpartikel beim Passieren von Offshore-Bauwerken durch
Wellen benötigt, da man mit ihnen die daraus resultierenden Geschwindigkeiten, Beschleuni-
gungen und Kräfte genauer ermitteln kann. Ferner sind die sich danach ergebenden Belastun-
gen i. A. höher als die nach der linearen Theorie. Da diese Kräfte eine der Hauptbelastungen
solcher Bauwerke darstellen, ist deren genauere Kenntnis für die Optimierung der Fundament-
konstruktionen wichtig.
Die tatsächlichen Wellenformen entsprechen im Gegensatz zu der Airy'schen Theorie nicht
Sinuskurven, sondernWellenberg und Wellental haben unterschiedliche Längen und Formen.
Ferner gilt die Airy-Theorie nur für sehr flache Wellen. Die in einem Seegang auftretenden
Wellen haben jedoch ein deutlich größeres Höhen-Längenverhältnis, sodass für die genauere
Beschreibung der realen Wellen nichtlineare Theorien verwendet werden müssen.
Zur Beschreibung einer einzelnenWelle wird häufig, z. B. imSchiffbau, nach Gerstner [ 10] eine
Trochoide (eine spezielle Form der Zykloiden oder Abrollkurven) als gute Näherung für Ober-
flächenwellen in tiefemWasser angenommen.
Um eine Trochoide zu erzeugen, lässt man ein Rad mit dem Radius R auf einer Geraden ab-
rollen (siehe Bild 11.9). Die Erzeugende der Bahnkurve ist der Punkt P, der sich auf dem Radi-
us r < R vom Mittelpunkt des Rads entfernt befindet und sich mit dem Rad fortbewegt. Der
Umfang des Rads mit dem Radius R entspricht der Wellenlänge L . Ein Wasserpartikel an der
Oberfläche führt demnach eine Kreisbewegung mit dem Radius r durch. Sind R und r gleich
groß, erhält man die klassische Zykloide.
Die Form der Gleichungen der Welle in Parameterform (Parameter ist der Winkel Æ ) ist abhän-
gig von der Lage des gewählten Koordinatensystems; für das hier verwendete System (siehe
Bild 11.9) lauten sie (Wellenberg bzw. Wellental auf L /2):
Wellenberg bei L /2: x = R · Æ + r · sin Æ ; z =° r · cos Æ (0 ∑ Æ ∑ 2 · º )

Wellental bei L /2: x = R · Æ ° r · sin Æ ; z = r · cos Æ
mit: R = L /(2 · º ); L = Wellenlänge; r = H /2; H = Wellenhöhe
Aus dem Verlauf des Wellenprofils erkennt man, dass das Wellental länger ist als der Wellen-
berg ( l WT = L /2 + 2 · H ; l WB = L /2 ° 2 · H ). Je größer das Verhältnis H / L ist, umso länger wird
danach das Wellental. Dies entspricht auch der Realität.