Integral Transformations - Heat Conduction: Mathematical Models and Analytical Solutions - page 448

This is the Fourier integral of exponential form for the non-periodic function f ( t ) ,

i.e.

⎧
⎨

+ ∞

e iω t d f ( t )= g ( ω ) ω ,

− ∞

(B.3)

+ ∞

⎩

1
2

e − iωτ d g ( ω )= f ( τ ) τ ,

π

− ∞

where the generalized integrals are defined under the meaning of principal value.
Remark 1. (Fourier integral theorem). Let function f ( t ) be defined in the infinite

region ( − ∞ , + ∞ ) . If it satisfies the Dirichlet condition in any finite region and the

integral + ∞
− ∞

| f ( t ) | d t converges,

+ ∞ e iω t d

+ ∞

1
2

e − iωτ d

f ( τ ) τ ω

π − ∞ − ∞

f

( t ) , for continuous point t ,

= ( + )+ ( − )

f t 0 f t 0

, for discontinuous point t .

2

Remark 2. (Other forms of the Fourier integral). By the Euler formula, we may
transform the exponential form into a trigonometric form

+ ∞ d

+ ∞

1
2

e iω ( t − τ ) d f ( t )= f ( τ ) τ ω

π

− ∞ − ∞

+ ∞ d

+ ∞

1
2

= f ( τ ) cos ω ( t − τ ) d τ ω

π

− ∞ − ∞

+ ∞ d

+ ∞

i
2

+ f ( τ ) sin ω ( t − τ ) d τ ω

π

− ∞ − ∞

+ ∞ d

+ ∞

1
2

= f ( τ ) cos ω ( t − τ ) d τ ω

π

− ∞ − ∞

+ ∞ d

+ ∞

1
π

= f ( τ ) cos ω ( t − τ ) d τ ω .

0 − ∞

By expanding cos ω ( t − τ ) , we may obtain a form similar to the Fourier series

⎧
⎨

+ ∞

f ( t )= [ a ( ω ) cos ω t + b ( ω ) sin ω t ] d ω ,

0

+ ∞

1
π

a ( ω )= f ( τ ) cos ωτ d τ ,

⎩

− ∞

+ ∞

1
π

b ( ω )= f ( τ ) sin ωτ d τ .

− ∞