Cauchy Problems of Hyperbolic Heat-Conduction Equations - Heat Conduction: Mathematical Models and Analytical Solutions - page 185

where c 1 and c 2 are constants. Since the Wronski determinant

e ξ √ s 2 e − ξ √ s 2

c 2 c 2

− −

2 s 2 e ξ √ s 2

c 2

e − ξ √ s 2

c 2

= − − c 2 ,

− −

ξ ξ

the general solution of Eq. (5.36) is

√ s 2 − c 2

a d

A e ξ √ s 2 − c 2 B e − ξ √ s 2 − c 2

e − ( ξ − ξ ) ξ

√ τ 0

1
2

ξ U ( ξ , s )= + − √ s 2 ψ

− c 2

e − ( ξ − ξ ) √ s 2

a d

ξ
√ τ 0

c 2 1

2

−

ξ ,

+ √ s 2 ψ

c 2 −

ξ →− ∞ ξ → + ∞

where A and B are constants. Since U must be bounded as and ,

= =

A B 0. In order to ensure the convergence of the two integrals, let

⎡

√ s 2 − c 2

a d

ξ

e − ( ξ − ξ ) ξ

√ τ 0

1
2

⎣ −

ξ U ( ξ , s )= √ s 2 ψ

− c 2

+ ∞

⎤

√ s 2

a d

ξ

e − ( ξ − ξ )

c 2 −

ξ
√ τ 0

ξ

⎦ .

√ s 2

+ ψ

c 2

−

− ∞

Since

L − 1 ⎡

⎤

e − ( ξ − ξ ) √ s 2

I 0 c t 2

2 H t

c 2 −

− ξ − ξ ,

⎣ ⎦ =

√ s 2 − ( ξ − ξ )

c 2

−

we have

L − 1 ⎡

⎤
⎦ d

√ s 2 − c 2

a

+ ∞

e − ( ξ − ξ ) ξ

√ τ 0

1
2

⎣

ξ √ s 2 ψ

− c 2

ξ

I 0 c t 2

2

a d

ξ + t

ξ
√ τ

1
2

ξ . − ( ξ − ξ ) = ψ

ξ 0

Similarly,

L − 1 ⎡

⎤
⎦ d

e − ( ξ − ξ ) √ s 2

a

ξ

c 2 −

ξ
√ τ

1
2

⎣

ξ

√ s 2

ψ

c 2

−

− ∞ 0

I 0 c t 2

2

a d

ξ

ξ
√ τ 0

1
2

ξ . = − ( ξ − ξ ) ψ

ξ − t