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Abbildung 3.8.
Kantenerkennung durch Bestimmung der Maxima der geglätteten Ableitung. Links: Eine ver-
rauschte Kante in Null. Mitte und rechts: Oben eine Filterfunktion, unten das Ergebnis der Filterung.
Wir stellen nun Forderungen um ein geeignetes
f
zu finden. Wir fordern, dass die Stel-
le der Kanten für verschiedene
keine
Kanten hinzukommen. Mit Blick auf Abbildung 3.7 fordern wir deshalb, dass in einem
Kantenpunkt
x
0
gelten soll
σ
gleich bleibt. Außerdem sollen für größere
σ
2
∂
∂
∂σ
(
σ
)
>
=
⇒
(
σ
)
>
x
2
u
x
0
,
0
u
x
0
,
0
∂
2
∂
∂
∂σ
x
2
u
(
x
0
,
σ
)=
0
=
⇒
u
(
x
0
,
σ
)=
0
∂
2
∂
∂
∂σ
x
2
u
(
x
0
,
σ
)
<
0
=
⇒
u
(
x
0
,
σ
)
<
0.
∂
Mit anderen Worten: Ist die zweite Ableitung in
x
-Richtung von
u
positiv (beziehungs-
weise null/negativ), so soll
u
für wachsendes
- also für gröbere Skalen - wachsen
(beziehungsweise gleich bleiben/fallen). Um dies zu gewährleisten, verlangen wir, dass
die Funktion
u
die folgende partielle Differentialgleichung löst:
σ
2
∂
∂σ
σ
)=
∂
(
(
σ
)
u
x
,
x
2
u
x
,
.
(3.3)
∂
σ
=
Darüber hinaus soll natürlich für
0 die Funktion
u
0
herauskommen. Wir haben also
einen Anfangswert für die Differentialgleichung:
(
)=
(
)
u
x
,0
u
0
x
.
(3.4)
Das Anfangswertproblem (3.3), (3.4) ist aus der Physik bekannt und modelliert die Wär-
meleitung in einer Dimension. Es hat ei
n
e eindeutige Lösung, die durch die Faltung mit
der Gauß-Funktion (3.2) mit Varianz
√
2
σ
gegeben ist:
G
√
2
σ
)(
u
(
x
,
σ
)=(
u
0
∗
x
)
.
=
Wir haben also eine geeignete Funktion
f
G
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gefunden.