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Abbildung 3.8. Kantenerkennung durch Bestimmung der Maxima der geglätteten Ableitung. Links: Eine ver-
rauschte Kante in Null. Mitte und rechts: Oben eine Filterfunktion, unten das Ergebnis der Filterung.
Wir stellen nun Forderungen um ein geeignetes f zu finden. Wir fordern, dass die Stel-
le der Kanten für verschiedene
keine
Kanten hinzukommen. Mit Blick auf Abbildung 3.7 fordern wir deshalb, dass in einem
Kantenpunkt x 0 gelten soll
σ
gleich bleibt. Außerdem sollen für größere
σ
2
∂σ
(
σ ) >
=
(
σ ) >
x 2 u
x 0 ,
0
u
x 0 ,
0
2
∂σ
x 2 u
(
x 0 ,
σ )=
0
=
u
(
x 0 ,
σ )=
0
2
∂σ
x 2 u
(
x 0 ,
σ ) <
0
=
u
(
x 0 ,
σ ) <
0.
Mit anderen Worten: Ist die zweite Ableitung in x -Richtung von u positiv (beziehungs-
weise null/negativ), so soll u für wachsendes
- also für gröbere Skalen - wachsen
(beziehungsweise gleich bleiben/fallen). Um dies zu gewährleisten, verlangen wir, dass
die Funktion u die folgende partielle Differentialgleichung löst:
σ
2
∂σ
σ )=
(
(
σ )
u
x ,
x 2 u
x ,
.
(3.3)
σ =
Darüber hinaus soll natürlich für
0 die Funktion u 0 herauskommen. Wir haben also
einen Anfangswert für die Differentialgleichung:
(
)=
(
)
u
x ,0
u 0
x
.
(3.4)
Das Anfangswertproblem (3.3), (3.4) ist aus der Physik bekannt und modelliert die Wär-
meleitung in einer Dimension. Es hat ei n e eindeutige Lösung, die durch die Faltung mit
der Gauß-Funktion (3.2) mit Varianz 2
σ
gegeben ist:
G 2 σ )(
u
(
x ,
σ )=(
u 0
x
)
.
=
Wir haben also eine geeignete Funktion f
G 1 gefunden.
 
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