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u
in
L
p
R
d
→
(
)
→
∞
auch
u
R
für
R
. Für die partiellen Ableitungen gilt nach der Leibniz-
Formel
α
β
(
∂
α
u
R
)(
)=
β≤α
(
∂
α−β
u
R
−|β|
(
∂
β
η
)(
)(
)
)
x
x
x
/
R
.
∂
α
u
in
Der Summand für
β
=
0 geht (wieder nach dominierter Konvergenz) gegen
L
p
R
d
∂
α
u
R
→ ∂
α
u
in
L
p
R
d
(
)
(
)
, die anderen konvergieren sogar gegen Null. Also gilt
u
in
H
m
,
p
R
d
und wir schließen
u
R
→
(
)
.
Bemerkung 3.19
Hat
u
H
m
,
p
R
d
∈
(
)
einen kompakten Träger, so lässt sich mit obiger Argumentation für
ε >
⊂⊂
Ω
φ ∈D
(Ω)
− φ
m
,
p
< ε
jedes
0 und
Ω
mit supp
u
ein
finden, so dass
u
in
Ω
.
R
d
bewiesen haben.
Man beachte, dass wir das Dichtheitsresultat nicht für Gebiete
Ω
⊂
nicht dicht in
H
m
,
p
Im Allgemeinen ist
D
(
Ω
)
(
Ω
)
; den Abschluss von
D
(
Ω
)
hatten wir
deswegen auch mit
H
m
,
p
0
C
∞
(Ω)
(Ω)
bezeichnet. Hingegen liegt der Raum
häufig dicht
in
H
m
,
p
(
Ω
)
, wie wir in Satz 6.74 zeigen werden.
Die Faltung ist nicht nur für geeignete integrierbare Funktionen definiert. Es lassen
sich zum Beispiel auch Maße mit integrierbaren Funktionen falten. Ist
ein Maß auf
R
d
μ
und
f
:
R
d
→
R
eine integrierbare Funktion, so ist
μ
∗
f
(
x
)=
f
(
x
−
y
)
d
μ
(
y
)
.
R
d
Bemerkung 3.20
(Interpolation als Faltung)
Mit Hilfe der Faltung von Maß und Funktion können wir einen neuen Blick auf die
Interpolation von Bildern werfen. Nach Bemerkung 3.3 schreiben wir ein diskretes Bild
(
U
i
,
j
)
auf einem regelmäßigen quadratischen Gitter als Delta-Kamm:
=
∑
U
U
i
,
j
δ
x
i
,
j
,
x
i
,
j
=(
i
,
j
)
.
Die Interpolation von
U
mit einer Interpolationsfunktion
φ
ist dann
)=
∑
(
)=
∗ φ
(
)=
R
2
φ
(
−
)
(
U
i
,
j
φ
(
−
)
u
x
U
x
x
y
d
U
y
x
x
i
,
j
.
Bemerkung 3.21
In der Bildverarbeitung spricht man eher von Filtern als von Faltungen. Dies entspricht
dem Falten mit dem gespiegelten Faltungskern: Der
lineare Filter
zu
h
definiert durch
u
id
h
. In diesem Buch werden wir, wenn nicht anders bemerkt, das Wort „lineare
Filter“ für die Operation
u
∗
D
−
∗
h
verwenden.
3.3.2 Anwendungsbeispiele
Mit linearen Filtern lassen sich sowohl interessante Effekte erzeugen, als auch einige
der Grundprobleme der Bildverarbeitung bearbeiten. Exemplarisch zeigen wir hier drei
Anwendungsbeispiele:
