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L
∞
(
R
d
∗
∈
)
ergibt.
Die Glättungseigenschaften der Faltung lassen sich noch auf zahlreiche andere Wei-
sen formulieren als in Satz 3.13, zum Beispiel in Sobolew-Räumen
H
m
,
p
Man bemerke, dass Satz 3.13 in diesem Fall nur
u
v
R
d
(
)
.
Satz 3.15
Es sei m
1
r
1
p
1
L
p
R
d
H
m
,
q
R
d
∈
≤
≤
∞
+
=
+
∈
(
)
∈
(
)
N
,
1
p
,
q
,
1
q
,u
und h
. Dann ist
H
m
,
r
R
d
u
∗
h
∈
(
)
und für die schwachen Ableitungen bis zur Ordnung m gilt
∂
α
(
∗ ∂
α
h
∗
)=
u
h
u
fast überall
.
H
m
,
r
∗
∈
(Ω
2
)
Es seien weiterhin
Ω
1
,
Ω
2
Gebiete. Die Behauptung bleibt wahr mit u
h
, falls
L
p
H
m
,
q
u
∈
(
Ω
1
)
und h
∈
(
Ω
2
−
Ω
1
)
.
=
∂
α
(
∗
)
Beweis.
Wir bezeichnen mit
g
. Wir benutzen die Definition der schwachen
Ableitung und rechnen unter Verwendung des Satzes von Fubini analog zu Satz 3.13
nach:
u
h
)
|α|
∂
α
∂
(
)
φ
(
)
=(
−
R
d
(
∗
)(
)
x
α
φ
(
)
R
d
g
x
x
d
x
1
u
h
x
x
d
x
)
|
α
|
d
y
∂
α
∂
=(
−
(
)
(
−
)
x
α
φ
(
)
1
R
d
u
y
h
x
y
x
d
x
R
d
)
|
α
|
∂
α
∂
=(
−
(
)
(
−
)
x
α
φ
(
)
1
R
d
u
y
R
d
h
x
y
x
d
x
d
y
R
d
∂
α
h
=
(
)
(
−
)
φ
(
)
R
d
u
y
x
y
x
d
x
d
y
∗
∂
α
h
=
R
d
(
u
)(
x
)
φ
(
x
)
d
x
.
Die behauptete Ableitungsregel folgt aus dem Fundamentallemma der Variationsrech-
nung, Lemma 2.75. Aus Satz 3.13 folgt, wegen
∂
α
h
L
q
R
d
∂
α
(
∗ ∂
α
h
∈
(
)
∗
)=
∈
auch
u
h
u
L
r
R
d
H
m
,
p
R
d
. Insbesondere ist die Existenz des
Integrals oben auf der linken Seite im Nachhinein gerechtfertigt.
Der Zusatz ergibt sich analog; wir bemerken lediglich, dass für
(
)
für
|
α
|≤
m
und damit
u
∗
h
∈
(
)
φ
∈D
(
Ω
2
)
mit Null
∈
Ω
1
folgt:
T
y
φ ∈D
(Ω
2
−
)
fortgesetzt und
y
y
und man daher die Definition d
er
schwachen Ableitung anwenden kann.
R
d
D
(
)
Ist die Funktion
φ
aus Satz 3.13 3. zusätzlich in
, so nennt man die Funktionen
φ
ε
auch
Mollifier
. Es folgt nämlich, dass
u
∗
φ
ε
in diesem Fall unendlich oft differenzier-
bar ist, und für kleines
nur wenig von
u
abweicht. Dies lässt sich in verschiedenen
Normen genauer beschreiben, zum Beispiel in den
L
p
-Normen:
ε
Lemma 3.16
Es sei
R
d
ein Gebiet und
1
L
p
Ω
⊂
≤
p
<
∞
. Dann gibt es zu jedem u
∈
(
Ω
)
, Mollifier
φ
und
δ
>
0
ein
ε
>
0
, so dass gilt:
φ
ε
∗
−
p
< δ
u
u
.
dicht in L
p
D
(Ω)
(Ω)
Insbesondere liegt der Raum
.
