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ρ >
Wir wählen
0 und zerlegen das Integral in große und kleine
y
:
|
(
u
∗
φ
ε
)(
x
)
−
u
(
x
)
|
≤
ρ
(0)
|
u
(
x
−
y
)
−
u
(
x
)
||
φ
ε
(
y
)
|
d
y
+
\B
ρ
(0)
|
u
(
x
−
y
)
−
u
(
x
)
||
φ
ε
(
y
)
|
d
y
B
R
d
≤
ρ
(0)
|
φ
ε
(
y
)
|
d
y
sup
|≤ρ
|
u
(
x
−
y
)
−
u
(
x
)
|
B
|
y
≤
1
→
0 für
ρ→
0
+
)
|φ
ε
(
)
|
|y|≥ρ
|
(
−
)
−
(
)
|
y
d
y
sup
u
x
y
u
x
.
R
d
\
B
ρ
(
0
→
0 für
ε→
0 und jedes
ρ>
0
≤
2 sup
|u
(
x
)
|
Die zeigt einerseits die punktweise Konvergenz und andererseits auch die gleichmäßi
ge
Konvergenz auf kompakten Mengen.
In Worten sagen die Eigenschaften:
1.
Die Faltung ist eine lineare und stetige Operation, wenn sie zwischen den ange-
gebenen Funktionenräumen betrachtet wird.
2.
Die Faltung von Funktionen erbt die Glattheit der glatteren von beiden Funktio-
nen und die Ableitung der Faltung entspricht der Faltung mit der Ableitung.
3.
Die Faltung
u
mit einer „schmalen“ Funktion
φ
approximiert in gewissem Sinne
die Funktion
u
.
Für die Bildverarbeitung sind insbesondere die zweite und dritte Eigenschaft inter-
essant: Falten mit einer glatten Funktion glättet das Bild. Beim Falten mit einer Funktion
φ
ε
nur ein kleiner Fehler gemacht.
In der Tat ist die Faltung oft noch ein wenig glatter als die glattere der beiden Funk-
tionen. Ein einfaches Beispiel dafür zeigt der folgende Satz.
wird für kleine
ε
Satz 3.14
Es sei p
L
p
∗
1
und p
∗
der duale Exponent, u
L
p
R
d
R
d
>
∈
(
)
und v
∈
(
)
. Dann ist u
∗
v
∈
R
d
C
(
)
.
R
d
schätzen wir mit Hilfe der Hölder-Ungleichung ab:
Beweis.
Zu
h
∈
|
u
∗
v
(
x
+
h
)
−
u
∗
v
(
x
)
|≤
R
d
|
u
(
y
)
||
v
(
x
+
h
−
y
)
−
v
(
x
−
y
)
|
d
y
p
d
y
1/
p
p
∗
1/
p
∗
≤
R
d
|
u
(
y
)
|
R
d
|
v
(
x
+
h
−
y
)
−
v
(
x
−
y
)
d
y
|
=
p
−
p
∗
.
u
T
h
v
v
Dass das letzte Integral für
h
→
0 gegen 0 konvergiert, ist gerade die Aussage, da
ss
L
p
∗
-Funktionen für 1
im
p
∗
-Mittel stetig sind, siehe Aufgabe 3.4.
≤
<
∞
p
