Image Processing Reference
In-Depth Information
= ∞
|
|
Für p
können wir das Supremum von
u
vor das Integral ziehen und erhalten
die geforderte Abschätzung. Für p
<
integrieren wir die p -te Potenz von u
v und
erhalten
d y p d x .
p d x
R d |
(
) |
R d |
(
) ||
(
) |
u
v
x
u
x
y
v
y
R d
Für p
=
1 gilt nach dem Satz von Fubini
R d |
u
v
(
x
) |
d x
R d |
u
(
x
y
) |
d x
|
v
(
y
) |
d y
R d
1
p
1
was die Behauptung liefert. Für 1
1 wenden wir die Hölder-
Ungleichung an und erhalten (unter Anwendung des Satzes von Fubini)
<
p
<
und
+
p =
1/ p d y p d x
p d x
1/ p
R d |
u
v
(
x
) |
R d |
u
(
x
y
) ||
v
(
y
) |
|
v
(
y
) |
R d
d y p / p d x
d y
p
R d |
u
(
x
y
) |
|
v
(
y
) |
R d |
v
(
y
) |
R d
p d x d y
p / p
1
=
R d |
v
(
y
) |
R d |
u
(
x
y
) |
v
p / p +1
1
p d x
R d |
(
) |
u
x
v
.
Die Anwendung des Satzes von Fubini ist hier im Nachhinein gerechtfertigt, da die
letzteren Integrale existieren. Nach Ziehen der p -ten Wurzel folgt die Behauptung. Für
q
>
1 ist der Beweis ähnlich, aber komplizierter, siehe zum Beispiel [91].
Zu 2.: Wir zeigen die Behauptung nur für die ersten partiellen Ableitungen; der all-
gemeine Fall folgt dann durch wiederholtes Anwenden. Wir betrachten den Differen-
zenquotienten in Richtung des i -ten Einheitsvektors e i :
(
∗ φ )(
+
) (
∗ φ )(
)
) φ (
+
) − φ (
)
u
x
te i
u
x
x
te i
y
x
y
=
(
R d u
y
d y .
t
t
∂φ
Da der Quotient
( φ (
x
+
te i
y
) φ (
x
y
))
/ t gleichmäßig gegen
x i (
x
y
)
konvergiert,
folgt die Behauptung.
Zu 3.: Vorab bemerken wir
R d φ ε (
)
=
) φ ε (
)
ε →
x
d x
1,
x
d x
0 für
0
R d
\
ρ (
B
0
was man durch Variablentransformation
ξ =
x /
ε
einsieht. Wir schließen:
| (
∗ φ ε )(
)
(
) |≤
R d |
(
)
(
) ||φ ε (
) |
u
x
u
x
u
x
y
u
x
y
d y .
 
Search WWH ::




Custom Search