Image Processing Reference
In-Depth Information
= ∞
|
|
Für
p
können wir das Supremum von
u
vor das Integral ziehen und erhalten
die geforderte Abschätzung. Für
p
<
∞
integrieren wir die
p
-te Potenz von
u
∗
v
und
erhalten
d
y
p
d
x
.
p
d
x
R
d
|
∗
(
)
|
≤
R
d
|
(
−
)
||
(
)
|
u
v
x
u
x
y
v
y
R
d
Für
p
=
1 gilt nach dem Satz von Fubini
R
d
|
u
∗
v
(
x
)
|
d
x
≤
R
d
|
u
(
x
−
y
)
|
d
x
|
v
(
y
)
|
d
y
R
d
1
p
1
was die Behauptung liefert. Für 1
1 wenden wir die Hölder-
Ungleichung an und erhalten (unter Anwendung des Satzes von Fubini)
<
p
<
∞
und
+
p
∗
=
1/
p
∗
d
y
p
d
x
p
d
x
1/
p
R
d
|
u
∗
v
(
x
)
|
≤
R
d
|
u
(
x
−
y
)
||
v
(
y
)
|
|
v
(
y
)
|
R
d
d
y
p
/
p
∗
d
x
d
y
p
≤
R
d
|
u
(
x
−
y
)
|
|
v
(
y
)
|
R
d
|
v
(
y
)
|
R
d
p
d
x
d
y
p
/
p
∗
1
=
R
d
|
v
(
y
)
|
R
d
|
u
(
x
−
y
)
|
v
p
/
p
∗
+1
1
p
d
x
≤
R
d
|
(
)
|
u
x
v
.
Die Anwendung des Satzes von Fubini ist hier im Nachhinein gerechtfertigt, da die
letzteren Integrale existieren. Nach Ziehen der
p
-ten Wurzel folgt die Behauptung. Für
q
>
1 ist der Beweis ähnlich, aber komplizierter, siehe zum Beispiel [91].
Zu 2.: Wir zeigen die Behauptung nur für die ersten partiellen Ableitungen; der all-
gemeine Fall folgt dann durch wiederholtes Anwenden. Wir betrachten den Differen-
zenquotienten in Richtung des
i
-ten Einheitsvektors
e
i
:
(
∗ φ
)(
+
)
−
(
∗ φ
)(
)
)
φ
(
+
−
)
− φ
(
−
)
u
x
te
i
u
x
x
te
i
y
x
y
=
(
R
d
u
y
d
y
.
t
t
∂φ
∂
Da der Quotient
(
φ
(
x
+
te
i
−
y
)
−
φ
(
x
−
y
))
/
t
gleichmäßig gegen
x
i
(
x
−
y
)
konvergiert,
folgt die Behauptung.
Zu 3.: Vorab bemerken wir
R
d
φ
ε
(
)
=
)
φ
ε
(
)
→
ε →
x
d
x
1,
x
d
x
0 für
0
R
d
\
ρ
(
B
0
was man durch Variablentransformation
ξ
=
x
/
ε
einsieht. Wir schließen:
|
(
∗ φ
ε
)(
)
−
(
)
|≤
R
d
|
(
−
)
−
(
)
||φ
ε
(
)
|
u
x
u
x
u
x
y
u
x
y
d
y
.