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3.3.1 Definition und Eigenschaften
Die Beschränkung auf charakteristische Funktionen in Beispiel 3.12 ist natürlich nicht
nötig. Wir können allgemein gewichtete gleitende Mittel betrachten. Seien dazu
u
,
h
:
R
d
→
R
messbar. Dann definieren wir die
Faltung von u mit h
durch
(
u
∗
h
)(
x
)=
R
d
u
(
y
)
h
(
x
−
y
)
d
y
.
Die Funktion
h
wird auch Faltungskern genannt. Die Faltung ist offensichtlich linear in
beiden Komponenten. Außerdem ist die Faltung in folgendem Sinne verschiebungsin-
variant:
T
y
(
u
∗
h
)=(
u
∗
T
y
h
)=(
T
y
u
∗
h
)
.
Weitere Eigenschaften der Faltung listet folgender Satz auf:
Satz 3.13
(Eigenschaften der Faltung)
1
r
1
p
1
L
p
R
d
L
q
R
d
1.
Sind
1
≤
p
,
q
≤
∞
,
+
1
=
+
q
und sind u
∈
(
)
und v
∈
(
)
so ist
L
r
R
d
∗
=
∗
∈
(
)
u
v
v
u
und insbesondere gilt die
Youngsche Ungleichung
u
∗
v
≤
u
v
q
.
r
p
L
p
R
d
:
R
d
2.
Ist
1
≤
p
≤
∞
,u
∈
(
)
und
φ
→
R
k-mal stetig differenzierbar mit kompaktem
Träger, so ist u
∗
φ
k-mal stetig differenzierbar und es gilt für alle Multiindizes
α
mit
|
α
|≤
k
∂
α
(
∗
∂
α
φ
∂
∗ φ
)
u
=
u
.
∂
x
α
x
α
L
1
R
d
3.
Sei
φ
∈
(
)
mit
φ ≥
R
d
φ
(
)
=
0,
x
d
x
1
und sei zu
ε
>
0
1
ε
x
φ
ε
(
x
)=
φ
(
ε
)
.
d
Dann gilt für gleichmäßig stetiges und beschränktes u
:
R
d
→
R
(
u
∗
φ
ε
)(
x
)
→
u
(
x
)
für
ε
→
0.
∗ φ
ε
auf jeder kompakten Teilmenge von
R
d
gleichmäßig.
Außerdem konvergiert u
Beweis.
Zu 1.: Die Gleichheit
u
∗
v
=
v
∗
u
folgt durch Integralsubstitution. Wir betrach-
ten den Fall
q
=
=
1 (also
r
p
). Es gilt die Abschätzung
|
∗
(
)
|≤
R
d
|
(
−
)
||
(
)
|
u
v
x
u
x
y
v
y
d
y
.
