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In-Depth Information
u
†
u
†
=
+
χ
B
r
(0)
Abbildung 3.5.
Entrauschen mit dem gleitenden Mittel. Links: Originalbild, Mitte: Originalbild mit Rauschen,
Rechts: Anwendung des gleitenden Mittels. Daneben: Die benutzte charakteristische Funktion.
u
n
M
r
u
3.3 Lineare Filter
Lineare Filter gehören zu den ältesten Werkzeugen der digitalen Bildverarbeitung. Wir
betrachten als erstes ein einleitendes Beispiel.
Beispiel 3.12
(Entrauschen mit dem gleitenden Mittel)
Wir betrachten ein kontinuierliches Bild
u
:
R
d
→
R
und gehen davon aus, dass dieses
Bild mit einem gewissen Rauschen behaftet ist. Wir nehmen also an, dass das Bild
u
aus
einem echten Bild
u
†
durch Addition von Rauschen
n
hervorgeht:
u
†
u
=
+
n
.
Von dem Rauschen nehmen wir an, dass es gleichmäßig um Null herum verteilt ist (dies
ist keine präzise mathematische Annahme - wir verzichten hier auf eine genaue Formu-
lierung). Um das Rauschen zu reduzieren, bilden wir Mittelwerte über Nachbarwerte
und hoffen, dass das Rauschen dadurch unterdrückt wird. In Formeln sieht das wie
folgt aus: Zu einem Radius
r
>
0 bilden wir
1
(
)=
(
)
M
r
u
x
u
y
d
y
.
d
L
(
B
r
(
0
))
B
r
(
x
)
Dies können wir äquivalent mit Hilfe der charakteristischen Funktion schreiben als
1
(
)=
(
)
χ
B
r
(
0
)
(
+
)
M
r
u
x
R
d
u
y
x
y
d
y
.
L
d
(
B
r
(
0
))
Diese Operation nennt man auch
gleitendes Mittel (moving average)
, siehe Abbildung 3.5.
Es sei noch bemerkt, dass die Operation
M
r
auch die sogenannte „Out-of-focus“-
Unschärfe modelliert, also die Unschärfe die entsteht, wenn das Objekt nicht in der
Fokusebene der Kamera liegt.
Das obige Beispiel beschreibt das, was in der digitalen Bildverarbeitung ein
Filter
ge-
nannt wird. Dabei ist die Funktion
χ
B
r
(0)
die
Filterfunktion
. Die mathematische Struktur,
die dem Filtern zu Grunde liegt, ist, bis auf das Vorzeichen im Argument der Filterfunk-
tion, die Faltung.
