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Abbildung 3.4. Segmentierung durch Schwellwertbildung nach Anwendungsbeispiel 3.11. Links: Gescannte
Handschriften, rechts: Segmentierung.
Wir wählen den Schwellwert so, dass er dem arithmetischen Mittel der
Schwerpunkte des Histogramms oberhalb und unterhalb des Schwellwer-
tes entspricht.
Da der Schwerpunkt dem normierten ersten Moment entspricht, lautet dies in Formeln:
Der Schwellwert s 0
erfüllt die Gleichung
s 0
0
s 0 s d H u (
.
s
)
(
)
s d H u
s
1
2
s 0
=
s 0
0
) +
s 0 1d H u (
1d H u
(
s
s
)
Diese Gleichung lässt sich zum Beispiel durch eine Fixpunktiteration lösen:
s 0 s d H u (
s 0
0
.
s
)
s d H u
(
s
)
1
2
s n +1
0
s 0 )
s 0
0
=
f
(
mit f
(
s 0
)=
) +
s 0 1d H u (
1d H u
(
s
)
s
Warum konvergiert diese Fixpunktiteration? Die Iterationsabbildung f ist monoton
wachsend als Summe von zwei wachsenden Funktionen. Außerdem ergibt sich
0
S
0
sH u
(
s
)
d s
sH u
(
s
)
d s
1
2
1
2
f
(
0
)=
d s
0,
f
(
S
)=
d s +
S .
0 H u (
0 H u (
)
)
s
s
Auf Grund der Monotonie gibt es also mindestens einen Fixpunkt mit Steigung kleiner
als eins. Damit konvergiert die Fixpunktiteration.
Diese Methode ist auch unter dem Namen Isodata-Algorithmus bekannt und wird seit
den 70er Jahren eingesetzt [117]. Ein Beispiel ist in Abbildung 3.4 zu sehen.
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