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Definition 3.1
Zu
y
R
d
und
A
R
d×d
definieren wir
t
y
:
R
d
∈
∈
R
d
,
d
A
:
R
d
R
d
→
→
(
)=
+
(
)=
t
y
x
x
y
,
d
A
x
Ax
.
Damit definieren wir die lineare Operatoren für
Translation
(Verschiebung) und
lineare
Koordinatentransformation
(Skalierung) auf
R
d
C
(
)
durch
R
d
R
d
R
d
R
d
C
(
)
→C
(
)
C
(
)
→C
(
)
T
y
:
,
D
A
:
,
T
y
u
=
u
◦
t
y
,
D
A
u
=
u
◦
d
A
.
Beispiel 3.2
Die Operatoren
T
y
und
D
A
sind Operatoren die „von rechts“ wirken, d.h. sie werden
vor der Anwendung der Funktion
u
ausgeführt. Für die Hintereinanderausführung gilt:
(
)(
)=(
(
◦
))(
)=(
◦
◦
)(
)=
(
(
+
))
T
y
D
A
u
x
T
y
u
d
A
x
u
d
A
t
y
x
u
A
x
y
(
D
A
T
y
u
)(
x
)=(
D
A
(
u
◦
t
y
))(
x
)=(
u
◦
t
y
◦
d
A
)(
x
)=
u
(
Ax
+
y
)
Siehe dazu auch die Aufgaben 3.1 und 3.2.
Eine gute Interpolationsvorschrift ist
separierbar
, d.h. eine mehrdimensionale In-
terpolation lässt sich aus einem Tensorprodukt von eindimensionalen Interpolatio-
nen erzeugen. Deshalb betrachten wir im Folgenden ein eindimensionales Bild
U
:
{
R
. Im Falle von diskreten Bildern benutzen wir meist Indizes anstelle
der Schreibweise mit Argument:
U
j
1, . . . ,
N
}→
=
(
)
U
j
.
Stückweise konstante Interpolation.
Wir konstruieren aus
U
das kontinuierliche Bild
u
:
[
1,
N
]
→
R
durch
1
2
1
2
u
(
x
)=
U
j
falls
j
−
≤
x
<
j
+
=
U
1
2
x
+
wobei
die größte ganze Zahl kleiner als
y
ist. Diese Interpolation heißt auch
Nearest-
neighbor
-Interpolation. Dies lässt sich auch als Spline-Interpolation nullter Ordnung
auffassen. Dazu definieren wir den Vektorraum
V
0
y
R
u
:
1, . . . ,
N
.
1
1
2
=
[
+
]
→
|
[
j
−
=
2
,
N
u
ist konstant für
j
1
2
,
j
1
2
[
+
0
j
In diesem Vektorraum bilden die
Plateaufunktionen
eine Basis. Diese sind
φ
(
x
)=
0
0
T
φ
(
x
)=
φ
(
x
−
j
)
und entstehen als Verschiebung:
−
j
1
1
2
,
2
[
falls
x
∈
[
−
0
φ
(
x
)=
χ
[
−
2
[
(
x
)=
1
2
,
1
0
sonst.
Die stückweise konstante Interpolation von
U
lässt sich damit schreiben als:
