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Dieses Maß wird das
Zählmaß
auf
genannt. Man kann es zu einem Borel-Maß
einschränken, im Allgemeinen ist es jedoch kein positives Radon-Maß: Für den
wichtigen Spezialfall der Standardtopologie auf
R
d
gibt es kompakte Mengen mit
unendlichen Maß.
Ω
R
d
2.
Folgendes Beispiel ist ähnlicher Natur: Für
Ω
⊂
und
x
∈
Ω
definiert, für
A
∈
F
=
B
(
Ω
)
,
1
falls
x
∈
A
δ
x
(
A
)=
0
sonst.
ein positives Radon-Maß, das
Dirac-Maß in x
.
R
d
a
i
R
d
R
d
sei
3.
Für halboffene Quader
[
a
,
b
[=
{
x
∈
≤
x
i
<
b
i
}∈
B
(
)
mit
a
,
b
∈
d
i
=1
(
b
i
−
a
i
)
.
d
L
([
a
,
b
[) =
Man kann zeigen, dass diese Funktion eine eindeutige Fortsetzung zu einem
Radon-Maß auf
d
bezeichnet, ist das
d-dimensionale Lebesgue-Maß
. Es entspricht der intuitiven Vorstellung vom „Volu-
men“ einer
d
-dimensionalen Menge, wir schreiben auch
R
d
B(
)
hat [55]. Dieses Maß, ebenfalls mit
L
d
|
Ω
|
= L
(Ω)
.
4.
Ein anderer Zugang zum Lebesgue-Maß setzt voraus, dass man das Volumen von
k
-dimensionalen Einheitskugeln kennt: Für
k
≥
0 ganzzahlig ist dies nämlich
∞
k
/2
π
t
k−
1
e
−t
d
t
,
ω
k
=
,
Γ
(
k
)=
Γ
(
1
+
k
/2
)
0
wobei
ein, kann
man sogar ein Volumen für „gebrochene Dimensionen“ erklären. Für eine beliebi-
ge beschränkte Menge
A
Γ
als
Eulersche Gamma-Funktion
bekannt ist. Setzt man
k
∈
[
0,
∞
[
R
d
erwartet man nun, dass das
k
-dimensionale Volu-
⊂
k
/2
k
mit
(
)
men höchstens
ω
k
diam
A
|
x
,
y
diam
(
A
)=
sup
{|
x
−
y
∈
A
}
,
diam
(
∅
)=
0
R
d
ist. Dies reicht, um für
A
∈
B
(
)
zu definieren:
k
inf
∞
.
δ→
0
ω
k
k
i
=1
diam(
A
i
)
(
)=
⊂
(
)
< δ
H
A
lim
A
A
i
, diam
A
i
2
k
∈
i
N
Dadurch ist ein Borel-Maß gegeben, das
k-dimensionale Hausdorff-Maß
, welches ei-
ne zentrale Rolle in der geometrischen Maßtheorie spielt. Ein fundamentales Re-
sultat in dieser Theorie ist dabei die Übereinstimmung mit dem Lebesgue-Maß im
Fall
k
=
d
. Weiterhin lässt sich der Flächeninhalt eines
k
-dimensionalen Flächen-
stückes durch
k
ausdrücken [61].
H
Bezüglich dieser Maße möchte man auch auf Teilmengen integrieren, dafür braucht
man zunächst den Begriff der Einschränkung eines Maßes.
