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2.2.1 Maß und Integral
Grundlage des Lebesgue-Integrals ist das Messen des Inhalts von Mengen mittels eines
sogenannten Maßes.
Definition 2.36
(Messbarer Raum)
Es sei
Ω
eine nichtleere Menge. Eine Familie von Teilmengen
F
ist eine
σ
-Algebra
, falls
1.
∅
∈
F
,
2.
für
A
∈
F
auch
Ω
\
A
∈
F
,
N
impliziert, dass
i∈
N
A
i
3.
A
i
∈
F
,
i
∈
∈
F
.
Das Paar
(
Ω
,
F
)
wird
messbarer Raum
genannt, Mengen aus
F
heißen
messbar
. Die
kleinste
σ
-Algebra, die eine Familie von Teilmengen
G
enthält, ist
die von
G
erzeugte
σ
-
Algebra
. Für einen topologischen Raum
Ω
heißt die von den offenen Mengen erzeugte
B(Ω)
σ
-Algebra
Borel-Algebra
, bezeichnet mit
.
-Algebra Komplementbildung sowie das (abzählbare)
Schneiden und Vereinigen von Mengen erlaubt. Insbesondere erhält die Borel-Algebra
alle offenen, alle abgeschlossenen und alle kompakten Mengen. Man betrachtet
Grob gesagt sind in einer
σ
-
Algebren, da sie eine geeignete Klasse von Mengensystemen bilden, deren Elemente
sich messen beziehungsweise integrieren lassen.
σ
Definition 2.37
(Positives Maß)
Ein
Maß
auf einem messbaren Raum
(
Ω
,
F
)
ist eine Funktion
μ
:
F
→
[
0,
∞
]
mit den
folgenden Eigenschaften:
1.
μ
(
∅
)=
0,
2.
aus
A
i
∈
F
,
i
∈
N
paarweise disjunkt folgt
A
i
∞
i
=1
μ
(
A
i
)
.
μ
=
i
∈
N
Gilt
μ
(
Ω
)
<
∞
,soist
μ
ein
endliches Maß
, im Spezialfall
μ
(
Ω
)=
1 trägt es den Namen
Wahrscheinlichkeitsmaß
. Gibt es eine Folge
(
)
μ
(
)
<
∞
∈
A
i
aus
F
für welche
A
i
für alle
i
N
Ω
=
i
∈
N
A
i
sowie
gilt, so wird das Maß
σ
-endlich
genannt.
(Ω
μ
)
Das Tripel
,
F
,
trägt den Namen
Maßraum
.
Häufig ist der konkrete messbare Raum, zu dem ein Maß assoziiert ist, interessant:
Im Falle
F
=
B
(
Ω
)
spricht man von einem
Borel-Maß
, gilt darüber hinaus
μ
(
K
)
<
∞
für
alle kompakten Mengen
K
, nennt man
μ
ein
positives Radon-Maß
.
Beispiel 2.38
(Maße)
1.
Auf jeder nichtleeren Menge
Ω
ist auf offensichtliche Weise auf der Potenzmenge
F = P(Ω)
ein Maß definiert:
card
(
A
)
falls
A
endlich
μ
(
A
)=
∞
sonst.