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2.2.1 Maß und Integral
Grundlage des Lebesgue-Integrals ist das Messen des Inhalts von Mengen mittels eines
sogenannten Maßes.
Definition 2.36 (Messbarer Raum)
Es sei
Ω
eine nichtleere Menge. Eine Familie von Teilmengen
F
ist eine
σ
-Algebra , falls
1.
F
,
2.
für A
F
auch
Ω \
A
F
,
N impliziert, dass i∈ N A i
3.
A i
F
, i
F
.
Das Paar
( Ω
,
F )
wird messbarer Raum genannt, Mengen aus
F
heißen messbar . Die
kleinste
σ
-Algebra, die eine Familie von Teilmengen
G
enthält, ist die von
G
erzeugte
σ
-
Algebra . Für einen topologischen Raum
Ω
heißt die von den offenen Mengen erzeugte
B(Ω)
σ
-Algebra Borel-Algebra , bezeichnet mit
.
-Algebra Komplementbildung sowie das (abzählbare)
Schneiden und Vereinigen von Mengen erlaubt. Insbesondere erhält die Borel-Algebra
alle offenen, alle abgeschlossenen und alle kompakten Mengen. Man betrachtet
Grob gesagt sind in einer
σ
-
Algebren, da sie eine geeignete Klasse von Mengensystemen bilden, deren Elemente
sich messen beziehungsweise integrieren lassen.
σ
Definition 2.37 (Positives Maß)
Ein Maß auf einem messbaren Raum
( Ω
,
F )
ist eine Funktion
μ
:
F [
0,
]
mit den
folgenden Eigenschaften:
1.
μ ( )=
0,
2.
aus A i F
, i
N paarweise disjunkt folgt
A i
i =1 μ ( A i ) .
μ
=
i
N
Gilt
μ ( Ω ) <
,soist
μ
ein endliches Maß , im Spezialfall
μ ( Ω )=
1 trägt es den Namen
Wahrscheinlichkeitsmaß . Gibt es eine Folge
(
)
μ (
) <
A i
aus
F
für welche
A i
für alle i
N
Ω = i N A i
sowie
gilt, so wird das Maß
σ
-endlich genannt.
μ )
Das Tripel
,
F
,
trägt den Namen Maßraum .
Häufig ist der konkrete messbare Raum, zu dem ein Maß assoziiert ist, interessant:
Im Falle
F = B ( Ω )
spricht man von einem Borel-Maß , gilt darüber hinaus
μ (
K
) <
für
alle kompakten Mengen K , nennt man
μ
ein positives Radon-Maß .
Beispiel 2.38 (Maße)
1.
Auf jeder nichtleeren Menge
Ω
ist auf offensichtliche Weise auf der Potenzmenge
F = P(Ω)
ein Maß definiert:
card
(
A
)
falls A endlich
μ (
A
)=
sonst.
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