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m
u
als
m
-lineare Abbildung
R
d
R
d
∇
(
)
×···×
→
Hinweis:
Fassen Sie
x
R
auf und
benutzen Sie, für glatte Funktionen, die Identitäten
m
m
u
x
0
∇
(
T
x
0
D
O
u
)(
x
)(
h
1
,...,
h
m
)=
∇
(
Ox
+
)(
Oh
1
,...,
Oh
m
)
,
m
α
∂
m
u
d
∑
i
m
=
d
∑
i
1
=
m
u
2
2
∂
∑
|α|
=
x
α
(
)
=
1
···
x
i
m
(
)
x
x
.
x
i
1
···∂
∂
∂
1
m
Aufgabe
6.26
.
Es seien die Voraussetzungen von Satz 6.86 erfüllt. Zusätzlich gelte, dass
Y
ein
Hilbert-Raum ist. Bezeichne dort mit
T
:
Y
m
die orthogonale Projektion auf das Bild der
→
A
Π
A
−
1
TA
, wobei
A
auf
A
m
invertiert
Polynome vom maximalem Grad
m
−
1 unter
A
und mit
S
=
Π
wird.
Zeigen Sie, dass für jede Lösung
u
∗
der Aufgabe (6.36) gilt:
ASu
∗
=
Tu
∗
.
Aufgabe
6.27
.
Es sei
Ω
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet,
m
≥
1 und
p
,
q
∈
]
1,
∞
[
.
1.
Beweisen Sie, unter geeigneten Bedingungen an
q
, die Existenz von Minimierern des Ent-
rauschproblems
1
q
+
p
u
0
q
d
x
m
u
p
d
x
.
min
Ω
|
u
−
|
Ω
|∇
|
∈
L
q
(
Ω
)
u
für jedes
u
0
L
q
∈
(Ω)
λ >
sowie
0.
2 jeder Minimierer
u
∗
der Identität
Q
m
u
∗
=
Q
m
u
0
2.
Zeigen Sie, dass im Fall
q
=
genügt.
3.
Gilt für
m
≥
2 ein Maximumprinzip wie in Satz 6.95?
Ω
ein beschränktes Gebiet,
k
L
1
∈
(Ω
0
)
Aufgabe
6.28
.
Es sei
,
Ω
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet
Ω
−
Ω
0
⊂
Ω
0 und
u
0
L
q
für welches
gilt sowie
m
≥
1 und
p
,
q
∈
]
1,
∞
[
. Ferner sei
λ
>
∈
(
Ω
)
u
0
≤
≤
∈
genüge den Abschätzungen
L
R
fast-überall in
Ω
für
L
,
R
R
.
Weisen Sie nach, dass die Aufgabe
1
q
+
p
(
Ω
)
L
≤
v
≤
R
fast-überall
}
(
u
0
q
d
x
m
u
p
d
x
min
Ω
|
u
∗
k
−
|
Ω
|∇
|
+
I
u
)
{
∈
L
q
v
u
∈
L
q
(Ω)
eine eindeutige Lösung besitzt.
Ω
ein beschränktes Gebiet,
k
L
1
Aufgabe
6.29
.
Es sei
∈
(
Ω
0
)
,
Ω
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet
Ω
−
Ω
0
⊂
Ω
≥
∈
]
∞[
für welches
gilt sowie
m
1 und
p
,
q
1,
.
Zeigen Sie, dass
A
:
L
q
L
q
(
Ω
)
1.
(
Ω
)
→
mit
Au
=(
u
∗
k
)
|
Ω
Polynome in
Ω
auf Polynome in
Ω
abbildet.
2.
Angenommen,
k
erfüllt, für alle Multiindizes
α
mit
|
α
| <
m
,
1
falls
α
=
0,
x
α
d
x
(
)
=
k
x
(6.100)
0
sonst.
Ω
0
m
.
Beweisen Sie, dass
Au
=
u
|
Ω
für alle Polynome
u
∈
Π
)
α
=
∑
β≤α
(
β
)
x
β
y
α−β
(
+
Hinweis:
Sie können das Multinomialtheorem
x
y
be-
nutzen.
