Image Processing Reference
In-Depth Information
= ∅
→
Aufgabe
6.23
.
Es sei
X
ein reeller Banach-Raum,
I
eine Indexmenge und
F
i
:
X
R
∞
eine
Familie eigentlicher Funktionale mit
i∈I
dom
F
i
=
∅
. Zeigen Sie die Identität
sup
i
F
i
∗
=
inf
i
F
i
∗∗
.
∈
I
∈
I
Aufgabe
6.24
.
Auf dem reellen reflexiven Banach-Raum
X
seien die eigentlichen Funktionale
R
∞
gegeben. Es existiere ein
u
0
dom
F
2
, so dass
F
1
in
u
0
→
∈
dom
F
1
∩
F
1
,
F
2
:
X
stetig ist.
Zeigen Sie:
1.
Für jedes
L
∈
R
und
R
>
0 ist die Menge
X
∗
F
1
(
w
1
,
w
2
X
∗
×
w
1
F
2
(
w
2
w
1
w
2
M
=
{
(
)
∈
)+
)
≤
L
,
+
X
∗
≤
R
}
beschränkt.
Hinweis:
Verwenden Sie das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit. Benut-
zen Sie dafür die Tatsache, dass sich für jedes
v
1
,
v
2
(
)
∈
X
×
X
eine Darstellung
v
1
u
0
v
2
u
1
0 und
u
1
−
α
=
−
α
mit
α
>
∈
dom
F
1
finden lässt und wenden Sie
w
1
,
u
1
w
2
,
u
0
die Fenchel-Ungleichung auf
und
an.
Die Infimalkonvolution
F
1
F
2
2.
ist eigentlich, konvex und unterhalbstetig.
Hinweis:
Verwenden Sie für die Unterhalbstetigkeit das Ergebnis des ersten
Punktes, um für Folgen
w
n
F
1
F
2
)(
w
n
→
(
)
→
w
mit
t
auf die Beschränktheit
w
n
und
F
1
(
n
+
F
2
(
n
≤
w
1
n
w
2
n
w
1
n
w
2
n
w
1
w
2
von
((
)
)
,
((
)
)
mit
(
)
+(
)
=
)
)
n
zu schließen. Argumentieren Sie darüber hinaus mit der
schwachen Unterhalbstetigkeit von
F
1
F
1
F
2
)(
w
n
(
)+
und
F
2
.
X
∗
wird das Minimum in
∈
3.
Sie ist weiterhin
exakt
, das heißt für jedes
w
F
1
(
w
1
F
2
(
w
2
min
)+
)
w
1
+
w
2
=
w
angenommen.
Hinweis:
Zeigen Sie mit der direkten Methode und wieder unter Zuhilfenahme
des ersten Punktes, dass für gegebenes
w
X
∗
die entsprechende minimierende
∈
w
1
n
,
w
2
n
w
1
n
w
2
n
((
)
(
)
)
(
)
+(
)
=
Folge
mit
w
beschränkt ist.
F
2
)
∗
=
F
1
F
2
.
4.
Falls
F
1
und
F
2
konvex und unterhalbstetig, so gilt
(
F
1
+
Aus der Exaktheit von
F
1
F
2
)
∗
=
F
1
F
2
5.
und
(
F
1
+
F
2
folgt für konvexe und unter-
halbstetige
F
1
,
F
2
die Identität
∂
(
F
1
+
F
2
)=
∂
F
1
+
∂
F
2
.
Aufgabe
6.25
.
Betrachten Sie die Halbnorm
2
p
/2
d
x
1/
p
m
α
∂
m
u
m
u
∑
|α|
=
∇
=
x
α
(
x
)
p
∂
R
d
m
auf dem Raum
H
m
,
p
R
d
(
)
≥
∈
[
∞]
,
m
0,
p
1,
.
H
m
,
p
R
d
,
x
0
R
d
und Isometrien
O
R
d×d
gilt:
Zeigen Sie: Für alle
u
∈
(
)
∈
∈
m
∇
·
p
=
·
p
◦
T
x
0
◦
O
m
∇
·
Mit anderen Worten:
p
ist invariant unter Translation und Anwendung von Isometrien.