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= ∅
Aufgabe 6.23 .
Es sei X ein reeller Banach-Raum, I
eine Indexmenge und F i : X
R eine
Familie eigentlicher Funktionale mit i∈I dom F i =
. Zeigen Sie die Identität
sup
i
F i = inf
i
F i ∗∗ .
I
I
Aufgabe 6.24 .
Auf dem reellen reflexiven Banach-Raum X seien die eigentlichen Funktionale
R gegeben. Es existiere ein u 0
dom F 2 , so dass F 1 in u 0
dom F 1
F 1 , F 2 : X
stetig ist.
Zeigen Sie:
1.
Für jedes L
R und R
>
0 ist die Menge
X F 1 (
w 1 , w 2
X ×
w 1
F 2 (
w 2
w 1
w 2
M
= { (
)
)+
)
L ,
+
X
R
}
beschränkt.
Hinweis: Verwenden Sie das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit. Benut-
zen Sie dafür die Tatsache, dass sich für jedes
v 1 , v 2
(
)
X
×
X eine Darstellung
v 1
u 0
v 2
u 1
0 und u 1
α
=
α
mit
α >
dom F 1 finden lässt und wenden Sie
w 1 , u 1
w 2 , u 0
die Fenchel-Ungleichung auf
und
an.
Die Infimalkonvolution F 1
F 2
2.
ist eigentlich, konvex und unterhalbstetig.
Hinweis: Verwenden Sie für die Unterhalbstetigkeit das Ergebnis des ersten
Punktes, um für Folgen w n
F 1
F 2 )(
w n
(
)
w mit
t auf die Beschränktheit
w n und F 1 (
n +
F 2 (
n
w 1
n
w 2
n
w 1
n
w 2
n
w 1
w 2
von
((
)
)
,
((
)
)
mit
(
)
+(
)
=
)
)
n zu schließen. Argumentieren Sie darüber hinaus mit der
schwachen Unterhalbstetigkeit von F 1
F 1
F 2 )(
w n
(
)+
und F 2 .
X wird das Minimum in
3.
Sie ist weiterhin exakt , das heißt für jedes w
F 1 (
w 1
F 2 (
w 2
min
)+
)
w 1
+
w 2
=
w
angenommen.
Hinweis: Zeigen Sie mit der direkten Methode und wieder unter Zuhilfenahme
des ersten Punktes, dass für gegebenes w
X die entsprechende minimierende
w 1
n ,
w 2
n
w 1
n
w 2
n
((
)
(
)
)
(
)
+(
)
=
Folge
mit
w beschränkt ist.
F 2 ) =
F 1
F 2 .
4.
Falls F 1 und F 2 konvex und unterhalbstetig, so gilt
(
F 1 +
Aus der Exaktheit von F 1
F 2
) =
F 1
F 2
5.
und
(
F 1
+
F 2
folgt für konvexe und unter-
halbstetige F 1 , F 2 die Identität
(
F 1 +
F 2 )=
F 1 +
F 2 .
Aufgabe 6.25 .
Betrachten Sie die Halbnorm
2 p /2
d x 1/ p
m
α
m u
m u
|α| =
=
x α (
x
)
p
R d
m
auf dem Raum H m , p
R d
(
)
[
∞]
, m
0, p
1,
.
H m , p
R d
, x 0
R d und Isometrien O
R d×d gilt:
Zeigen Sie: Für alle u
(
)
m
· p = · p
T x 0
O
m
·
Mit anderen Worten:
p ist invariant unter Translation und Anwendung von Isometrien.
 
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