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welches es zu minimieren gilt. In der Praxis wird
H
durch ein glattes
H
ersetzt, an-
schließend die Euler-Lagrange-Gleichungen formal hergeleitet und eine Gradientenab-
stiegsgleichung wie in Unterabschnitt 6.4.1 aufgestellt:
ε
div
∇φ
|∇
φ
|
.
∂φ
∂
H
ε
◦ φ
)
u
0
2
u
0
2
t
=(
−
(
−
)
+(
−
)
+
c
1
c
2
Die numerische Lösung dieser Gleichung gibt dann implizit die Evolution der Grenzflä-
che
vor. Aktualisiert man gleichzeitig die Mittelwerte
c
1
und
c
2
, so liefert der Ansatz,
mit ein paar weiteren numerischen Tricks, schließlich ein Lösungsverfahren [40, 71].
Zum
Zerlegen von Bildern
in verschiedene Anteile gibt es ausgefeiltere Ansätze als
die in diesem Kapitel vorgestellten Entrauschverfahren, insbesondere was die Model-
lierung von Texturen angeht. Die Modellannahme bei diesen Ansätzen besteht darin,
dass sich die wesentlichen Merkmale in einem Bild
u
0
durch eine glatte „Cartoon“-
Komponente und eine Texturkomponente beschreiben lassen. Die Texturkomponente
soll vor allem feine, wiederkehrende Strukturen abbilden, Rauschen jedoch außen vor
lassen. Geht man davon aus, dass
u
0
Γ
noch verrauscht ist, postuliert man
u
0
u
cartoon
u
textur
=
+
+
η
.
Besonders erwähnt sei hier das sogenannte
G
-Norm-Modell von Meyer [100, 86, 69].
Dieses modelliert die Texturanteile
u
textur
durch die zur Totalvariation dualen Halb-
norm:
inf
σ
∈D
div,∞
u
.
u
∗
=
σ
∞
, div
σ
=
Sie besitzt einige interessante theoretische Eigenschaften und eignet sich gut zur Be-
schreibung von oszillierenden, wiederkehrenden Mustern. In diesem Zusammenhang
wird
u
cartoon
häufig mit den Sobolew-Halbnormen oder der Totalvariation modelliert,
was wir in diesem Kapitel ausführlich untersucht haben. Assoziierte Minimierungspro-
bleme lauten dann beispielsweise
1
q
+
p
u
0
u
cartoon
u
textur
q
d
x
u
cartoon
p
d
x
u
textur
Ω
|
−
−
|
Ω
|∇
|
+
μ
∗
min
u
cartoon
,
u
textur
p
p
.Von
der
G
-Norm verschiedene Ansätze für Texturmodellierung nehmen auch duale Halb-
normen, so zum Beispiel die negativen Sobolew-Halbnormen
μ >
<
<
∞
∇
mit zwei Parametern
λ
,
0 und Exponenten 1
p
,
q
oder
λ
TV statt
u
sup
uv
d
x
1
.
H
1,
p
∗
1
≤
p
<
∞
:
u
H
−
1,
p
=
v
∈
(
Ω
)
,
∇
v
p
∗
≤
Ω
Zur dieser Herangehensweise stehen ebenfalls theoretische Resultate und eine Reihe an
numerischen Algorithmen zur Verfügung [11, 108, 92].
Das Problem der
Bestimmung des optischen Flusses
lässt sich auf verschiedene Arten
als Variationsproblem schreiben, hier seien zum Beispiel [24, 17, 74] erwähnt. Wir stellen
den klassischen Ansatz von [77] vor: Für eine gegebene Bildsequenz
u
:
[
]
×
Ω
→
0, 1
R
R
d
auf einem Gebiet
Ω
soll ein Geschwindigkeitsfeld
v
:
[
0, 1
]
×
Ω
→
ermittelt wer-
(
·
)
den, für welches
v
t
,
die Bewegungsrichtung und -geschwindigkeit der Objekte in