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welches es zu minimieren gilt. In der Praxis wird H durch ein glattes H
ersetzt, an-
schließend die Euler-Lagrange-Gleichungen formal hergeleitet und eine Gradientenab-
stiegsgleichung wie in Unterabschnitt 6.4.1 aufgestellt:
ε
div ∇φ
|∇ φ |
.
∂φ
H ε ◦ φ )
u 0
2
u 0
2
t =(
(
)
+(
)
+
c 1
c 2
Die numerische Lösung dieser Gleichung gibt dann implizit die Evolution der Grenzflä-
che
vor. Aktualisiert man gleichzeitig die Mittelwerte c 1 und c 2 , so liefert der Ansatz,
mit ein paar weiteren numerischen Tricks, schließlich ein Lösungsverfahren [40, 71].
Zum Zerlegen von Bildern in verschiedene Anteile gibt es ausgefeiltere Ansätze als
die in diesem Kapitel vorgestellten Entrauschverfahren, insbesondere was die Model-
lierung von Texturen angeht. Die Modellannahme bei diesen Ansätzen besteht darin,
dass sich die wesentlichen Merkmale in einem Bild u 0 durch eine glatte „Cartoon“-
Komponente und eine Texturkomponente beschreiben lassen. Die Texturkomponente
soll vor allem feine, wiederkehrende Strukturen abbilden, Rauschen jedoch außen vor
lassen. Geht man davon aus, dass u 0
Γ
noch verrauscht ist, postuliert man
u 0
u cartoon
u textur
=
+
+ η
.
Besonders erwähnt sei hier das sogenannte G -Norm-Modell von Meyer [100, 86, 69].
Dieses modelliert die Texturanteile u textur
durch die zur Totalvariation dualen Halb-
norm:
inf
σ ∈D div,∞
u .
u
=
σ
, div
σ =
Sie besitzt einige interessante theoretische Eigenschaften und eignet sich gut zur Be-
schreibung von oszillierenden, wiederkehrenden Mustern. In diesem Zusammenhang
wird u cartoon häufig mit den Sobolew-Halbnormen oder der Totalvariation modelliert,
was wir in diesem Kapitel ausführlich untersucht haben. Assoziierte Minimierungspro-
bleme lauten dann beispielsweise
1
q
+ p
u 0
u cartoon
u textur
q d x
u cartoon
p d x
u textur
Ω |
|
Ω |∇
|
+ μ
min
u cartoon , u textur
p
p .Von
der G -Norm verschiedene Ansätze für Texturmodellierung nehmen auch duale Halb-
normen, so zum Beispiel die negativen Sobolew-Halbnormen
μ >
<
<
mit zwei Parametern
λ
,
0 und Exponenten 1
p , q
oder
λ
TV statt
u
sup
uv d x
1 .
H 1, p
1
p
<
:
u
H 1, p
=
v
( Ω )
,
v
p
Ω
Zur dieser Herangehensweise stehen ebenfalls theoretische Resultate und eine Reihe an
numerischen Algorithmen zur Verfügung [11, 108, 92].
Das Problem der Bestimmung des optischen Flusses lässt sich auf verschiedene Arten
als Variationsproblem schreiben, hier seien zum Beispiel [24, 17, 74] erwähnt. Wir stellen
den klassischen Ansatz von [77] vor: Für eine gegebene Bildsequenz u :
[
] × Ω
0, 1
R
R d
auf einem Gebiet
Ω
soll ein Geschwindigkeitsfeld v :
[
0, 1
] × Ω
ermittelt wer-
(
· )
den, für welches v
t ,
die Bewegungsrichtung und -geschwindigkeit der Objekte in
 
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