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zu Grunde, dass das Bild aus glatten (zweimal differenzierbaren) Teilen besteht, die
von glatten Sprungunstetigkeiten getrennt werden. Mumford und Shah schlugen also
vor, zur Segmentierung eines Bildes
u
0
Ω
→
Γ
⊂
Ω
und eine
stückweise glatte Funktion
u
zu suchen, die das folgende Funktional minimieren
:
R
eine Kantenmenge
u
0
2
d
x
2
d
x
d
−
1
E
(
u
,
Γ
)=
Ω
(
u
−
)
+
λ
Ω
\
Γ
|∇
u
|
+
μ
H
(
Γ
)
wobei
0 wieder Regularisierungsparameter sind. Der dritte Term bestraft die
Länge der Kantenmenge und verhindert, dass einfach
λ
,
μ
>
und
u
0
Γ = Ω
=
u
genommen
wird. Das Mumford-Shah-Funktional ist ein mathematisch anspruchsvolles Objekt und
sowohl seine Analyse als auch die numerische Minimierung sind viel untersucht wor-
den [112, 9, 47, 75, 6, 18, 7, 31]. Herausforderungen in der Analysis der Minimierung von
E
entstehen vor allem durch eine geeignete Beschreibung der Objekte
Γ
sowie Funktio-
H
1
∈
(Ω
\
Γ)
nen
u
in einem funktionalanalytischen Rahmen. Es hat sich herausgestellt,
dass der Raum der speziellen Funktionen mit beschränkter Totalvariation SBV
(
Ω
)
dies
(Ω)
leisten kann. Er beinhaltet diejenigen Funktionen in BV
, deren Ableitung sich dar-
stellen lässt durch
d
u
+
−
u
−
)
ν
H
d
−
1
∇
u
=(
∇
u
)
L
1
L
+(
Γ
u
+
−
u
−
)
wobei
(
den
Sprung
,
ν
die
maßtheoretische Normale
Γ
die
Sprungmenge
bezeich-
net. Der Vektorraum SBV
bildet einen echten Teilraum (für BV-Funktionen enthält
der Gradient noch einen sogenannten
Cantor-Anteil
), auf ihn kann das Mumford-Shah-
Funktional sinnvoll erklärt werden und ist dort nicht-konvex. Weiterhin ist es möglich,
die Existenz eines Minimierers des Mumford-Shah-Funktionals in SBV
(
Ω
)
(Ω)
zu zeigen,
der Beweis ist jedoch aufgrund der Nicht-Konvexität schwieriger zu führen als wie wir
es in diesem Kapitel kennengelernt haben, generell ist die Analysis der Minimierer ein
weitreichendes mathematisches Themengebiet.
Ein vereinfachtes variationelles Modell zur Erzeugung von stückweise konstanten
Bildern zur Segmentierung schlagen Chan und Vese vor [40]. Es kann formal als Gren-
zaufgabe bezüglich der Parameter
gesehen werden und enthält
damit im wesentlichen nur den geometrischen Parameter
(
αλ
,
αμ
)
mit
α
→
∞
Γ
. Im einfachsten Fall von
zwei Helligkeitswerten wird das Funktional
−
u
0
2
d
x
d
1
(Γ
)=
Ω
(
χ
Ω
c
1
+
χ
Ω
\
Ω
c
2
−
)
+
μ
H
(Γ)
F
,
c
1
,
c
2
Γ =
∂
Ω
∩
Ω
minimiert, wobei
ist. Für ein festes
Γ
lassen sich die optimalen Konstanten
=
|
Ω
|
−
1
Ω
u
0
d
x
und
c
2
=
|
Ω
\
Ω
|
−
1
Ω
\
Ω
u
0
d
x
sofort ausrechnen, die Schwierig-
keit besteht in dem Finden der Grenzfläche
c
1
. Für diese Aufgabe sind die sogenannten
Level-Set-Methoden
sehr populäre numerische Verfahren [107, 127]. Grob dargestellt ist
die Grundidee dabei, dass sich
Γ
Γ
als Null-Level-Set einer Funktion
φ
:
Ω
→
R
dar-
Ω
positiv und in
Ω
\
Ω
negativ ist. Mit der sogenannten Heaviside-
stellen lässt, die in
Funktion
H
=
χ
[0,∞[
formuliert man
F
um zu
2
)
◦ φ
d
x
u
0
2
u
0
(
φ
)=
Ω
(
−
)
(
◦ φ
)+(
−
)
(
−
+
μ
(
◦ φ
)
F
,
c
1
,
c
2
c
1
H
c
2
1
H
TV
H
