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Primaler-Dualer Algorithmus für lineare Gleichheitsbedingungen
p
p
∈
R
N
1
×M
1
∇
h
u
min
+
I
}
(
u
)
.
{A
h
v
=
U
0
p
u
1.
Initialisierung
Setze
n
0,
u
0
u
0
U
0
,
w
0
8
=
=
=
=
0. Wähle
σ
,
τ
>
0 mit
στ
≤
h
2
.
2.
Dualer Schritt
w
n
+1
w
n
+
τ
∇
h
u
n
,
=
⎧
⎨
w
n
+
1
i
,
j
id
1
−
1
|
p
∗
−
w
n
+1
i
,
j
+
τ
|·|
|
falls
p
>
1
w
n
+1
i
,
j
|
|
≤
≤
1
i
N
1
,
w
n
+1
i
,
j
=
w
n
+1
i
,
j
⎩
1
≤
j
≤
M
1
.
=
falls
p
1,
w
n
+1
i
,
j
max
(
1,
|
|
)
3.
Primaler Schritt und Extragradient
n
+1
U
0
u
n
div
h
w
n
+1
μ
=
−
A
h
(
+
σ
)
,
n
+1
A
h
A
h
)
−
1
n
+1
,
λ
=(
μ
u
n
+1
u
n
A
h
λ
n
+1
,
=
+
u
n
+
1
2
u
n
+
1
u
n
.
=
−
4.
Iteration
Setze
n
1 und fahre mit Schritt 2 fort.
Tabelle 6.4.
Primaler-dualer Algorithmus zum numerischen Lösen der Minimierung von Sobolew-Halbnorm
beziehungsweise Totalvariation unter linearen Gleichheitsbedingungen.
←
n
+
1
hk
sind diese Vektoren orthonormal, die Matrix
A
h
A
h
Durch den Faktor
ist demnach
die Identität, man kann also auf den Lösungsschritt verzichten und gleich
setzen.
Beim perfekten Tiefpassfilter lässt sich ähnlich die Orthogonalität der diskreten Fourier-
transformation ausnutzen.
λ
=
μ
6.5 Weitere Entwicklungen
Die Variationsmethoden entwickeln sich rasant und es scheint unmöglich, einen annä-
hernd vollständigen Überblick über weitere Entwicklungen zu geben. Wir versuchen es
mit ausgewählten Themen, die wir im Folgenden kurz beschreiben. Es sei des Weiteren
auf die Monographien [10, 39, 125] hingewiesen.
Ein sehr früher Einsatz von Variationsmethoden stellt das sogenannte Mumford-
Shah-Funktional zur
Bildsegmentierung
dar [102]. Diesem Funktional liegt das Modell
