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Als nächstes bemerken wir, wie man die Iteration (6.89) durch (6.90) ausdrücken
kann: Die Wahl
u
2
u
n
u
n−
1
sowie
w
w
n
+1
mit
u
−
1
u
0
ist hier offensichtlich die
=
−
=
=
richtige, vorausgesetzt wir initialisieren mit
u
0
u
0
, was im Folgenden angenommen
wird. Wir können also die Abschätzung (6.91) für die Konvergenzanalyse einsetzen. Da-
zu untersuchen wir die dort auftauchenden Skalarprodukte mit dem Ziel, sie geeignet
nach unten abzuschätzen. Das soll so geschehen, dass man sie letztlich mit den Norm-
termen „verrechnen“ kann.
=
Lemma 6.140
In der Situation von Lemma 6.139 sei
z
n
(
)
eine Folge in Z
=
X
×
Y mit den Komponenten
z
n
u
n
,
w
n
und u
−
1
u
0
. Ist
2
=(
)
=
στ
≤
∈
∈
A
1
, so gilt für alle w
Y und M
,
N
N
mit
M
≤
N:
N
−
1
w
N
2
Y
n
=
M
w
n
+1
)
Y
≤
δ
M
(
−
w
u
n
+1
2
u
n
u
n−
1
2
−
−
w
,
A
(
−
+
w
)+
στ
A
2
τ
u
M
u
M−
1
2
X
+
√
στ
n
=
M
z
n
+1
N
−
2
z
n
Z
z
N
z
N−
1
Z
+
−
−
+
−
A
(6.93)
2
σ
2
2
w
n
u
n
u
n−
1
wobei
δ
n
(
)=(
−
(
−
))
Y
.
w
w
,
A
Beweis.
Sei zunächst
n
∈
N
fest. Dann gilt, mit der Definition von
δ
n
(
w
)
und der
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
w
n
+
1
u
n
+
1
u
n
−
1
2
u
n
−
(
−
w
,
A
(
−
+
))
Y
w
n
+
1
u
n
−
1
w
n
+
1
u
n
+
1
u
n
u
n
=(
−
(
−
))
Y
−
(
−
(
−
))
Y
w
,
A
w
,
A
w
n
+1
w
n
,
A
u
n
u
n−
1
=
δ
n
(
)
− δ
n
+1
(
)+(
−
(
−
))
Y
w
w
w
n
+1
w
n
u
n
u
n−
1
≤
δ
n
(
w
)
−
δ
n
+1
(
w
)+
A
−
Y
−
X
.
λ
=
√
σ
a
2
/2
b
2
/
≤ λ
+
(
λ
)
Die Youngsche Zahlenungleichung
ab
2
angewendet für
/
τ
gibt
.
w
n
+
1
X
≤
√
στ
u
n
u
n−
1
2
X
w
n
2
Y
−
+
−
w
n
+
1
u
n
−
1
w
n
u
n
A
−
Y
−
A
2
σ
2
τ
2
Bildet man jetzt die Summe, so folgt mit der Voraussetzung
στ
A
≤
1
−
1
n
=
M
(
w
n
+1
N
u
n
+1
2
u
n
u
n−
1
−
−
w
,
A
(
−
+
))
Y
n
=
M
u
n
)+
√
στ
N
−
1
u
n−
1
2
X
w
n
+1
w
n
2
Y
−
+
−
≤
δ
M
(
w
)
−
δ
N
(
w
A
2
σ
2
τ
u
M
u
M−
1
2
X
)+
−
≤ δ
M
(
)
− δ
N
(
w
w
2
σ
+
√
στ
n
=
M
z
n
+1
N
−
2
z
n
2
Z
w
N
w
N−
1
2
Y
−
+
−
A
.
2
2
τ
