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K
(
)
L
(
)
•
Der Raum
X
,
Y
ist ein abgeschlossener Unterraum von
X
,
Y
. Jede lineare
Abbildung mit endlichdimensionalen Bild ist kompakt.
•
Elemente in
sind schwach-stark-stetig oder
vollstetig
. Im Falle von refle-
xiven
X
ist eine lineare und stetige Abbildung sogar genau dann kompakt, wenn
sie schwach-stark-stetig ist.
K
(
X
,
Y
)
Eine analoge Aussage für schwach*-Konvergenz und Dualräumen
X
∗
und
Y
∗
mit
X
separabel ergibt sich für adjungierte lineare und stetige Abbildungen, das heißt
für
F
∗
mit
F
•
∈L
(
Y
,
X
)
.
Zum Schluss sei noch die Rolle von Dualräumen für die Trennung von konvexen
Mengen erwähnt.
Definition 2.28
Eine Teilmenge
A
⊂
X
eines normierten Raums
X
wird
konvex
genannt, falls für
x
,
y
∈
A
und
λ
∈
[
0, 1
]
stets
λ
x
+(
1
−
λ
)
y
∈
A
folgt.
Satz 2.29
(Trennungssätze von Hahn-Banach)
Seien A
,
B
⊂
X nichtleere, disjunkte, konvexe Teilmengen des normierten Raumes
(
X
,
·
X
)
.
Ist A offen, existiert ein x
∗
∈
X
∗
,x
∗
=
1.
0
und ein
λ
∈
R
, so dass
x
∗
,
x
x
∗
,
x
≤λ
∈
≥λ
∈
Re
für alle x
A und
Re
für alle x
B
.
Ist A abgeschlossen und B kompakt, existiert ein x
∗
∈
X
∗
, ein
λ ∈
ε >
2.
R
und ein
0
,so
dass
x
∗
,
x
x
∗
,
x
Re
≤
λ
−
ε
für alle x
∈
A und
Re
≥
λ
+
ε
für alle x
∈
B
.
X
Re
x
∗
,
x
als abgeschlossene Hyper-
ebene aufgefasst, die die Mengen
A
und
B
trennt. Dualräume enthalten also genügend
Elemente, um zum Beispiel zwei verschiedene Punkte zu trennen, aber auch Punkte
von abgeschlossenen Mengen usw.
Im obigen Fall wird die Menge
{
x
∈
=
λ
}
2.1.3 Aspekte der Hilbert-Raum-Theorie
Das Konzept des Banach-Raumes ist sehr allgemein gehalten und so wundert es nicht,
dass eine Vielzahl gewünschter Eigenschaften (wie zum Beispiel Reflexivität) im All-
gemeinen nicht gelten und gesondert gefordert werden müssen. Bei der Klasse der
Hilbert-Räume hat man allerdings durch das Skalarprodukt mehr Struktur zur Verfü-
gung, so dass sich automatisch eine Reihe von Eigenschaften ergeben. Wir geben kurz
eine Zusammenfassung der wichtigsten dieser Eigenschaften.
Definition 2.30
(Skalarprodukt)
Es sei
X
ein
K
-Vektorraum. Eine Abbildung
(
·
,
·
)
X
:
X
×
X
→
K
heißt
Skalarprodukt
,
falls sie Folgendes erfüllt:
