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u
∗
,
w
∗
)
∈
dom
F
2
∗
sind genau die Elemente aus
X
(
×
×
dom
F
1
Y
, die den gekoppelten
Fixpunktgleichungen
⎨
u
∗
=(
)
−
1
u
∗
− σ
A
∗
w
∗
)
+
σ∂
(
id
F
1
,
w
∗
=(
F
2
)
−
1
w
∗
+
τ
A u
∗
)
(6.88)
id
+
τ∂
(
,
⎩
u
∗
=
u
∗
,
w
∗
=
w
∗
genügen. Ein numerisches Verfahren kann wieder durch Fixpunktiteration gewonnen
werden: Für die Realisierung der rechten Seite ist lediglich die Kenntnis der Resolventen
zu
F
2
und die Anwendung von
A
und dessen Adjungierte
A
∗
nötig. Wegen
der Nicht-Expansivität der Resolventen (siehe Lemma 6.134) und der Stetigkeit von
A
ist die Iteration sogar Lipschitz-stetig. Es sei nochmal daran erinnert, dass wir keine
Differenzierbarkeitsforderungen an
F
2
getroffen haben.
Aus der Gleichung (6.88) lassen sich verschiedene numerische Verfahren herleiten,
wir stellen einige vor (siehe auch [8]).
∂
F
1
und
∂
•
Explizites Arrow-Hurwicz-Verfahren
Dies entspricht dem Gleichsetzen
u
n
u
n
,
w
n
u
n
und der vollen Fixpunktite-
=
=
ration auf den Resolventen in (6.88), also
u
n
+1
)
−
1
u
n
A
∗
w
n
=(
id
+
σ∂
F
1
(
−
σ
)
,
w
n
+1
F
2
)
−
1
w
n
Au
n
=(
id
+
τ∂
(
+
τ
)
.
•
Semi-implizites Arrow-Hurwicz-Verfahren
Dieses Verfahren unterscheidet sich von der expliziten Variante dadurch, dass bei
der Berechnung von
w
n
+1
schon der „neue“ primale Vektor
u
n
+1
verwendet wird:
u
n
+1
)
−
1
u
n
A
∗
w
n
=(
+
σ∂
(
− σ
)
id
F
1
,
w
n
+1
F
2
)
−
1
w
n
Au
n
+1
=(
id
+
τ∂
(
+
τ
)
.
In der praktischen Anwendung ist es so möglich, Speicherplatz zu sparen: das
u
n
kann direkt von
u
n
+1
überschrieben werden. Es sei außerdem bemerkt, dass man
natürlich die Reihenfolge der Aktualisierung von
u
und
w
vertauschen kann.
•
Modifiziertes Arrow-Hurwicz-Verfahren/Extragradienten-Verfahren
Die Idee beim
modifiziertem Arrow-Hurwicz-Verfahren
Verfahren ist, nicht
u
n
u
n
=
und
w
n
w
n
zu setzen, sondern als Folge mitzuführen und mit einem expliziten
Arrow-Hurwicz-Schritt zu aktualisieren [113]:
⎧
⎨
=
u
n
+1
)
−
1
u
n
A
∗
w
n
=(
id
+
σ∂
F
1
(
−
σ
)
,
w
n
+
1
F
2
)
−
1
w
n
A u
n
=(
+
τ∂
(
+
τ
)
id
,
⎩
u
n
+
1
)
−
1
u
n
+
1
A
∗
w
n
=(
+
σ∂
(
− σ
)
id
F
1
,
w
n
+1
F
2
)
−
1
w
n
+1
A u
n
=(
+
τ∂
(
+
τ
)
id
.
