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Nach Bemerkung 6.72 ist die simultane Lösung des primalen-dualen Problems äqui-
valent mit dem Finden von Sattelpunkten für das Lagrange-Funktional
L
: dom
F
1
×
dom
F
2
→
R
, welches definiert ist durch
F
2
(
L
(
u
,
w
)=(
w
,
Au
)
Y
+
F
1
(
u
)
−
w
)
.
(6.87)
u
∗
,
w
∗
)
∈
dom
F
2
Zur Erinnerung:
(
dom
F
1
×
ist ein Sattelpunkt von
L
genau dann,
dom
F
2
(
)
∈
×
wenn für alle
u
,
w
dom
F
1
gilt:
u
∗
,
w
u
∗
,
w
∗
)
≤
u
,
w
∗
)
L
(
)
≤
L
(
L
(
.
dom
F
2
u
0
,
w
0
Zu dem Lagrange-Funktional sei für jedes Paar
(
)
∈
dom
F
1
×
die Ein-
schränkungen
L
w
0
:
X
→
,
L
u
0
:
Y
→
∪{−
∞
}
erklärt durch
R
R
∞
L
L
dom
F
2
u
,
w
0
u
0
,
w
(
)
falls
u
∈
dom
F
1
(
)
falls
w
∈
L
w
0
(
u
)=
L
u
0
(
w
)=
∞
sonst,
−
∞
sonst.
Wie man leicht sieht gilt, mit den Begriffen aus Definition 6.60 und dem Resultat aus
Lemma 6.57, stets
L
w
0
∈
Γ
0
(
X
)
und
−
L
u
0
∈
Γ
0
(
Y
)
. Damit existieren nach Lemma 6.134
)
−
1
sowie
id
)
−
1
und man rechnet mit Hilfe von
die Resolventen
(
id
+
σ∂
L
w
0
+
τ∂
(
−
L
u
0
Lemma 6.136 leicht nach, dass gilt:
)
−
1
)
−
1
A
∗
w
0
(
+
σ∂
(
)=(
+
σ∂
(
− σ
)
id
L
w
0
u
id
F
1
u
id
)
−
1
F
2
)
−
1
Au
0
+
τ∂
(
−
L
u
0
(
w
)=(
id
+
τ∂
(
w
+
τ
)
.
u
∗
,
w
∗
)
∈
dom
F
2
Die Eigenschaft, dass
(
dom
F
1
×
ein Sattelpunkt ist, lässt sich äqui-
valent umformulieren zu
u
∗
w
∗
löst
min
u
L
w
∗
und
löst
min
w
Y
(
−
L
u
∗
)
.
∈X
∈
Die Optimalitätsbedingungen nach Satz 6.43 erlauben, für beliebige
σ
,
τ
>
0, weiter die
äquivalenten Umformungen
u
∗
,
w
∗
)
u
∗
)
w
∗
)
(
Sattelpunkt
⇔ {
0
∈
∂
L
w
∗
(
,0
∈
∂
(
−
L
u
∗
)(
u
∗
∈
u
∗
+
σ∂
u
∗
)
L
w
∗
(
,
⇔
w
∗
∈
w
∗
+
τ∂
(
−
w
∗
)
L
u
∗
)(
⎧
⎨
u
∗
=(
L
w
∗
)
−
1
u
∗
)
id
+
σ∂
(
,
w
∗
=
id
L
u
∗
)
−
1
⇔
w
∗
)
+
τ∂
(
−
(
,
⎩
u
∗
=
u
∗
,
w
∗
=
w
∗
.
u
∗
,
w
∗
)
∈
(
×
Das Paar
Y
wurde künstlich eingefügt und soll den Punkt markieren,
zum dem die Resolventen zu
X
genommen werden. Damit sind wir
wieder an einer Formulierung als Fixpunktgleichung angekommen: Die Sattelpunkte
∂
L
w
∗
und
∂
(
−
L
u
∗
)
