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→
5.
ist F
2
:
Y
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig, so folgt
∞
.
)
−
1
(
id
+
σ∂
F
1
(
u
)
)
−
1
(
)=
(
)+
(
)
⇒
(
+
σ∂
(
)=
F
3
u
,
w
F
1
u
F
2
w
id
F
3
u
,
w
)
−
1
(
id
+
σ∂
F
2
(
w
)
Beweis.
Zu 1.-3.: Der Beweis der behaupteten Identitäten besteht aus offensichtlichen
elementaren Umformungen, auf dessen Darstellung wir hier verzichten.
Zu 4.: Man formuliert zur Berechnung der Resolvente von
∂
F
2
die Aufgabe (6.83)
äquivalent um:
2
X
X
v
−
u
v
∗
löst
min
v
+
σ
F
1
(
Av
)
2
∈
2
Y
(
−
)
A
v
u
v
∗
⇔
+
σ
(
)
löst
min
F
1
Av
2
∈
(
A
∗
)
v
rg
2
Y
Y
w
−
Au
Av
∗
⇔
+
σ
(
)
löst
min
w
F
1
w
.
2
∈
Hier hat man sowohl die Bijektivität von
A
als auch
A
∗
A
=
id benutzt. Letztere Aussage
ist gleichbedeutend mit
v
∗
=
A
∗
(
)
−
1
+
σ∂
(
)
id
F
1
Au
, also gilt:
id
F
2
−
1
A
∗
◦
(
)
−
1
+
σ∂
=
+
σ∂
◦
id
F
1
A
.
Zu 5.: Analog zu Punkt 4 schreiben wir:
2
Y
2
X
)+
ω −
v
−
u
w
v
∗
,
ω
∗
)
(
löst
min
v
+
σ
F
1
(
v
+
σ
F
2
(
ω
)
2
2
∈X
ω∈
Y
⎧
⎨
2
X
X
−
v
u
v
∗
+
σ
(
)
löst
min
v
F
1
v
,
2
∈
⇔
⎩
2
X
ω∈Y
ω
−
w
ω
∗
löst
min
+
σ
F
2
(
ω
)
.
2
Das erste Minimierungsproblem wird genau durch
v
∗
=(
)
−
1
id
+
σ∂
F
1
(
u
)
gelöst, das
ω
∗
=(
)
−
1
zweite durch
id
+
σ∂
F
2
(
w
)
, also
)
−
1
(
id
+
σ∂
F
1
(
u
)
)
−
1
(
+
σ∂
(
)=
id
F
3
u
,
w
)
−
1
(
id
+
σ∂
F
2
(
w
)
was zu zeigen war.
Beispiel 6.137
(Resolventen-Abbildungen)
1.
Funktionale in R
Für
F
:
R
→
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig muss dom
∂
F
ein Intervall
∞
sein (offen, halboffen oder abgeschlossen) und jedes
∂
F
(
t
)
ein abgeschlossenes
G
−
(
,
G
+
(
[
)
)]
±
∞
Intervall, bezeichnen wir es mit
t
t
mit den Werten
zugelassen