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Bemerkung 6.135
Die Abbildung
)
−
1
(
id
+
σ∂F
wird auch
Resolvente
von
∂
F
zu
σ
>
0 genannt.
Das Ergebnis in (6.82) ist nun die äquivalente Formulierung der Optimalitätsbedin-
gungen für
u
∗
als Fixpunktgleichung
u
∗
=
(
)
(
F
1
)
−
1
A
∗
◦
u
∗
)
id
+
σ∂
◦
(
id
−
σ
D
F
2
◦
A
.
Daraus kann man sofort ein numerisches Verfahren, nämlich die Fixpunktiteration
)=
(
)
(
u
n
+1
u
n
)
−
1
A
∗
◦
u
n
=
T
(
id
+
σ∂
F
1
◦
(
id
−
σ
D
F
2
◦
A
)
(6.84)
herleiten. Dieses Verfahren ist unter dem englischen Namen „forward-backward split-
ting“ bekannt [93, 44]. Es ist ein Spezialfall der
Splitting-Algorithmen
und je nachdem,
wie man die Summe
A
∗
D
F
2
A
aufteilt, entstehen andere Verfahren, wie zum Bei-
spiel der
Douglas-Rachford-Splitting-Algorithmus
oder die
Methode der Multiplikatoren mit
alternierenden Richtungen
(englisch: „alternating direction method of multipliers“), unter
denen gewisse Verwandtschaften bestehen [53].
Um die Wahl der Fixpunktiteration zu rechtfertigen, nehmen wir an, die Iterierten
+
∂
F
1
u
n
(
konvergieren gegen ein
u
. Nach Voraussetzung an
A
und
F
2
ist
T
stetig, es konver-
giert also auch
F
)
u
n
u
n
u
n
+1
, folgt
F
(
)
→
(
)
(
)=
(
)=
u
und somit die Opti-
malität von
u
. Die Fixpunktiteration liefert daher, im Falle der Konvergenz, ein stetiges
numerisches Verfahren zu Minimierung der Summe
F
1
F
u
.Da
F
u
+
F
2
◦
A
konvexer Funktionale
unter der Voraussetzung, dass
F
2
stetig differenzierbar ist.
Untersuchen wir nun genauer die Frage, ob und wann sich
F
1
)
−
1
mit mög-
lichst elementaren Operationen ausrechnen lässt. Man kann dies nicht für allgemeine
Funktionale erwarten, jedoch ist es für viele für uns interessante Funktionale möglich.
Beweisen wir also ein paar elementare Rechenregeln für die Resolvente und schauen
uns konkrete Beispiele an.
(
id
+
σ∂
Lemma 6.136
(Rechenregeln für die Resolvente)
Es sei F
1
:
X
→
ein eigentliches, konvexes, unterhalbstetiges Funktional auf dem reellen
Hilbert-Raum X, Y ein weiterer reeller Hilbert-Raum und
R
∞
σ
>
0
.
α ∈
1. Mit
R
gilt
)
−
1
)
−
1
,
F
2
=
F
1
+
α
⇒
(
id
+
σ∂
F
2
=(
id
+
σ∂
F
1
λ >
2.
für
τ
,
0
gilt
+
σ∂F
2
)
−
1
=
λ
−
1
id
2
F
1
)
−
1
F
2
=
τF
1
◦
λ
id
⇒
(
id
◦
(
id
+
στλ
∂
◦
λ
id,
für u
0
X, w
0
∈
∈
3.
X gilt
w
0
,
)
−
1
F
1
)
−
1
F
2
=
F
1
◦
T
u
0
+(
·
)
⇒
(
id
+
σ∂
F
2
=
T
◦
(
id
+
σ∂
◦
T
u
0
−σw
0
,
−u
0
∈L
(
)
4.
ist A
Y
,
X
ein isometrischer Isomorphismus, so folgt die Identität
)
−
1
A
∗
◦
(
)
−
1
F
2
=
F
1
◦
A
⇒
(
id
+
σ∂
F
2
=
id
+
σ∂
F
1
◦
A
,
