Image Processing Reference
In-Depth Information
Die Adjunktion lässt sich auch für dicht definierte unbeschränkte Abbildungen er-
klären.
Definition 2.25 (Adjungierte unbeschränkter Abbildungen)
Es sei dom F
X ein dichter Unterraum eines normierten Raumes X ,
· X , und
Y eine lineare Abbildung in einen normierten Raum Y ,
· Y . Dann
F : dom F
wird die auf
Y x
dom F = {
y
y , Fx
Y
Y × Y ist stetig auf dom F
}⊂
definierte Abbildung F
dom F
X , für die F y die Fortsetzung von x
:
y , Fx
Y × Y auf ganz X ist, ebenfalls Adjungierte genannt.
Für reflexive Banach-Räume X ist die Adjungierte sicher dicht definiert und abge-
schlossen. Für F dicht definiert und abgeschlossen zwischen X und Y gelten folgende
Zusammenhänge für Kern und Bild:
)= rg
F ) in X
F )= rg
) in Y .
(
(
(
(
ker
F
und
ker
F
Die Frage, wann diese Identitäten mit vertauschtem Annulator wahr sind klärt folgende
Aussage über lineare Abbildungen mit abgeschlossenem Bild.
Satz 2.26 (Satz vom abgeschlossenem Bild)
Es seien X , Y Banach-Räume und F : X
dom F
Y eine dicht definierte, abgeschlossene
Abbildung. Dann sind äquivalent:
1.
(
)
rg
F
ist abgeschlossen in Y,
F )
ist abgeschlossen in X ,
2.
rg
(
) =
F )
in X ,
(
(
3.
ker
F
rg
F ) =
4.
ker
(
rg
(
F
)
in Y.
Eine wichtige Klasse von Operatoren, die im linearen und stetigen Fall schwache
und starke Konvergenz in Beziehung setzen, sind die kompakten Abbildungen.
Definition 2.27 (Kompakte Abbildungen)
Eine Abbildung F : X
Y zwischen zwei normierten Räumen X und Y heißt kompakt ,
falls F
X .
Die Menge der linearen, stetigen und kompakten Abbildungen wird mit
(
U
)
relativ kompakt ist für jedes beschränkte U
K (
X , Y
)
bezeichnet.
Im Rahmen von Einbettungen von Banach-Räumen X und Y sagen wir auch, dass
X kompakt in Y eingebettet ist, falls für die identische Abbildung id : X
Y aus
∈K (
)
Definition 2.8 gilt id
.
Zu linearen, stetigen und kompakten Abbildungen gibt es eine ausführliche funk-
tionalanalytische Theorie, da sich Resultate von linearen Abbildungen zwischen end-
lichdimensionalen Räumen übertragen lassen, die für allgemeine lineare und stetige
Abbildungen nicht gelten. Wir verweisen hierfür auf [3, 145] und erwähnen nur einige
elementare Eigenschaften.
X , Y
Search WWH ::




Custom Search