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Die Adjunktion lässt sich auch für dicht definierte unbeschränkte Abbildungen er-
klären.
Definition 2.25
(Adjungierte unbeschränkter Abbildungen)
Es sei dom
F
X
ein dichter Unterraum eines normierten Raumes
X
,
·
X
, und
⊂
Y
eine lineare Abbildung in einen normierten Raum
Y
,
·
Y
. Dann
→
F
: dom
F
wird die auf
Y
∗
x
dom
F
∗
=
{
y
∗
∈
y
∗
,
Fx
Y
∗
→
Y
∗
×
Y
ist stetig auf dom
F
}⊂
definierte Abbildung
F
∗
dom
F
∗
→
X
∗
, für die
F
∗
y
∗
die Fortsetzung von
x
:
→
y
∗
,
Fx
Y
∗
×
Y
auf ganz
X
ist, ebenfalls
Adjungierte
genannt.
Für reflexive Banach-Räume
X
ist die Adjungierte sicher dicht definiert und abge-
schlossen. Für
F
dicht definiert und abgeschlossen zwischen
X
und
Y
gelten folgende
Zusammenhänge für Kern und Bild:
)=
rg
F
∗
)
⊥
in
X
F
∗
)=
rg
)
⊥
in
Y
∗
.
(
(
(
(
ker
F
und
ker
F
Die Frage, wann diese Identitäten mit vertauschtem Annulator wahr sind klärt folgende
Aussage über lineare Abbildungen mit abgeschlossenem Bild.
Satz 2.26
(Satz vom abgeschlossenem Bild)
Es seien X
,
Y Banach-Räume und F
:
X
⊃
→
dom
F
Y eine dicht definierte, abgeschlossene
Abbildung. Dann sind äquivalent:
1.
(
)
rg
F
ist abgeschlossen in Y,
F
∗
)
ist abgeschlossen in X
∗
,
2.
rg
(
)
⊥
=
F
∗
)
in X
∗
,
(
(
3.
ker
F
rg
F
∗
)
⊥
=
4.
ker
(
rg
(
F
)
in Y.
Eine wichtige Klasse von Operatoren, die im linearen und stetigen Fall schwache
und starke Konvergenz in Beziehung setzen, sind die kompakten Abbildungen.
Definition 2.27
(Kompakte Abbildungen)
Eine Abbildung
F
:
X
→
Y
zwischen zwei normierten Räumen
X
und
Y
heißt
kompakt
,
falls
F
X
.
Die Menge der linearen, stetigen und kompakten Abbildungen wird mit
(
U
)
relativ kompakt ist für jedes beschränkte
U
⊂
K
(
X
,
Y
)
bezeichnet.
Im Rahmen von Einbettungen von Banach-Räumen
X
und
Y
sagen wir auch, dass
X
kompakt in
Y
eingebettet ist, falls für die identische Abbildung id :
X
→
Y
aus
∈K
(
)
Definition 2.8 gilt id
.
Zu linearen, stetigen und kompakten Abbildungen gibt es eine ausführliche funk-
tionalanalytische Theorie, da sich Resultate von linearen Abbildungen zwischen end-
lichdimensionalen Räumen übertragen lassen, die für allgemeine lineare und stetige
Abbildungen nicht gelten. Wir verweisen hierfür auf [3, 145] und erwähnen nur einige
elementare Eigenschaften.
X
,
Y