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σ >
Wir wollen diese nun äquivalent umformen und rechnen, für ein beliebiges
0,
u )+
A D F 2
Au )
0
F 1
(
(
A D F 2
Au ) σ∂
u )
σ
(
F 1
(
(6.82)
u − σ
A D F 2
Au ) (
u )
(
+ σ∂
)(
id
F 1
u (
) (
) 1
A
u )
+ σ∂
(
−σ
id
F 1
id
D F 2
A
.
Das Erstaunliche ist nun, dass die Operation auf der rechten Seite eindeutig sein muss.
Lemma 6.134
Es sei X ein reeller Hilbert-Raum und F : X
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig. Für
) 1
jedes
σ >
0 ist
(
id
+ σ∂
F
charakterisiert durch die Abbildung, welche u den eindeutigen
Minimierer von
2
X
X
v
u
+ σ
(
)
min
v
F
v
(6.83)
2
zuordnet.
Sie ist darüber hinaus nicht-expansiv , das heißt es gilt für beliebige u 1 , u 2
X:
(
) X
) 1
u 1
) 1
u 2
u 1
u 2
id
+ σ∂
F
(
) (
id
+ λ∂
F
(
X .
Beweis. Betrachten wir zu u
H die Minimierungsaufgabe (6.83). Das Zielfunktional
ist eigentlich, konvex, unterhalbstetig und koerziv, es existiert daher nach Satz 6.31 ein
Minimierer v
X . Aufgrund der strikten Konvexität der Norm in X ist dieser eindeu-
tig. Nach den Sätzen 6.43 und 6.51 (die Norm in X ist stetig) gilt, dass v
X genau dann
Minimierer ist, wenn
2 ·
u
2
X
0
T
(
v
)+ σ∂
F
(
v
)
⇐⇒
0
v
u
+ σ∂
F
(
v
)
.
) 1
(
+ σ∂
(
)
Letzteres ist äquivalent zu v
id
F
u
, also folgt mit der Eindeutigkeit
) 1
v . Insbesondere ist
des Minimierers v
(
id
+ σ∂
F
(
u
)
genau dann, wenn v
=
) 1
(
id
+ σ∂
einelementig.
Zum Beweis der Ungleichung sei als erstes die sogenannte Monotonie von
F
(
u
)
F gezeigt
(vergleiche auch Satz 6.33 und den Beweis dort). Sind v 1 , v 2
X und w 1
v 1
F
(
)
sowie
w 2
v 2
∈ ∂
(
)
F
beliebig, so folgt nach den jeweiligen Subgradientenungleichungen
w 1 , v 2
v 1
v 2
v 1
w 2 , v 1
v 2
v 1
v 2
(
)
F
(
)
F
(
)
,
(
)
F
(
)
F
(
)
.
w 1
w 2 , v 2
v 1
Addition der beiden Ungleichungen ergibt schließlich
(
)
0 und da-
w 1
w 2 , v 1
v 2
(
)
mit
0.
Nun sei v i
) 1
u i
1, 2. Dies bedeutet u i
v i
+ σw i
mit w i
=(
id
+ σ∂F
(
)
für i
=
=
v i
(
)
F
und die Monotonie des Subdifferentials gibt
u 1
u 2
2
X
v 1
v 2
2
X
v 1
v 2 , w 1
w 2
2
w 1
w 2
2
X
v 1
v 2
2
=
+
σ (
) X
+ σ
2
X .
0
0
Dies zeigt die gewünschte Abschätzung.
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