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σ >
Wir wollen diese nun äquivalent umformen und rechnen, für ein beliebiges
0,
u
∗
)+
A
∗
D
F
2
Au
∗
)
0
∈
∂
F
1
(
(
A
∗
D
F
2
Au
∗
)
∈
σ∂
u
∗
)
⇔
σ
(
F
1
(
(6.82)
u
∗
− σ
A
∗
D
F
2
Au
∗
)
∈
(
u
∗
)
⇔
(
+
σ∂
)(
id
F
1
u
∗
∈
(
)
(
)
−
1
A
∗
◦
u
∗
)
⇔
+
σ∂
◦
(
−σ
◦
id
F
1
id
D
F
2
A
.
Das Erstaunliche ist nun, dass die Operation auf der rechten Seite eindeutig sein muss.
Lemma 6.134
Es sei X ein reeller Hilbert-Raum und F
:
X
→
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig. Für
∞
)
−
1
jedes
σ
>
0
ist
(
id
+
σ∂
F
charakterisiert durch die Abbildung, welche u den eindeutigen
Minimierer von
2
X
X
−
v
u
+
σ
(
)
min
v
F
v
(6.83)
2
∈
zuordnet.
Sie ist darüber hinaus
nicht-expansiv
, das heißt es gilt für beliebige u
1
,
u
2
∈
X:
(
)
X
≤
)
−
1
u
1
)
−
1
u
2
u
1
u
2
id
+
σ∂
F
(
)
−
(
id
+
λ∂
F
(
−
X
.
Beweis.
Betrachten wir zu
u
H
die Minimierungsaufgabe (6.83). Das Zielfunktional
ist eigentlich, konvex, unterhalbstetig und koerziv, es existiert daher nach Satz 6.31 ein
Minimierer
v
∗
∈
∈
X
. Aufgrund der strikten Konvexität der Norm in
X
ist dieser eindeu-
tig. Nach den Sätzen 6.43 und 6.51 (die Norm in
X
ist stetig) gilt, dass
v
∈
X
genau dann
Minimierer ist, wenn
∈
∂
2
·
u
2
X
0
◦
T
(
v
)+
σ∂
F
(
v
)
⇐⇒
0
∈
v
−
u
+
σ∂
F
(
v
)
.
−
)
−
1
∈
(
+
σ∂
(
)
Letzteres ist äquivalent zu
v
id
F
u
, also folgt mit der Eindeutigkeit
)
−
1
v
∗
. Insbesondere ist
des Minimierers
v
∈
(
id
+
σ∂
F
(
u
)
genau dann, wenn
v
=
)
−
1
(
id
+
σ∂
einelementig.
Zum Beweis der Ungleichung sei als erstes die sogenannte
Monotonie
von
F
(
u
)
∂
F
gezeigt
(vergleiche auch Satz 6.33 und den Beweis dort). Sind
v
1
,
v
2
X
und
w
1
v
1
∈
∈
∂
F
(
)
sowie
w
2
v
2
∈ ∂
(
)
F
beliebig, so folgt nach den jeweiligen Subgradientenungleichungen
w
1
,
v
2
v
1
v
2
v
1
w
2
,
v
1
v
2
v
1
v
2
(
−
)
≤
F
(
)
−
F
(
)
,
(
−
)
≤
F
(
)
−
F
(
)
.
w
1
w
2
,
v
2
v
1
Addition der beiden Ungleichungen ergibt schließlich
(
−
−
)
≤
0 und da-
w
1
w
2
,
v
1
v
2
(
−
−
)
≥
mit
0.
Nun sei
v
i
)
−
1
u
i
1, 2. Dies bedeutet
u
i
v
i
+
σw
i
mit
w
i
=(
id
+
σ∂F
(
)
für
i
=
=
∈
v
i
(
)
∂
F
und die Monotonie des Subdifferentials gibt
u
1
u
2
2
X
v
1
v
2
2
X
v
1
v
2
,
w
1
w
2
2
w
1
w
2
2
X
v
1
v
2
2
−
=
−
+
σ
(
−
−
)
X
+
σ
−
≥
−
2
X
.
≥
≥
0
0
Dies zeigt die gewünschte Abschätzung.