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6.4.1 Lösen einer partiellen Differentialgleichung
Eine erste, sehr simple Idee zur numerischen Lösung einer zu
F
assoziierten Euler-
Lagrange-Gleichung ist in der Tatsache motiviert, dass diese häufig eine nichtlineare
partielle Differentialgleichung darstellt:
G
x
,
u
)
=
2
u
−
(
)
∇
(
)
∇
(
x
,
u
x
,
x
0in
Ω
(6.79)
R
d
S
d×d
mit
G
:
. Das
Nullsetzen der rechten Seite lässt sich damit als Suche nach einem stationären Punkt der
durch den Differentialoperator
G
induzierten Skalenraumanalyse interpretieren. Man
führt also einen Skalenparameter
t
Ω
×
×
×
→
R
sowie entsprechenden Randbedingungen auf
∂
Ω
R
≥
0 ein und betrachtet
G
x
,
u
(
)
)
in
∂
u
t
,
x
2
u
=
(
)
∇
(
)
∇
(
]
∞[
×
Ω
(
)=
(
)
t
,
x
,
u
t
,
x
,
t
,
x
0,
,
u
0,
x
f
x
in
(6.80)
∂
t
mit einem beliebigen Anfangswert
f
:
Ω
→
R
sowie Randbedingungen auf
[
0,
∞
[
×
∂
Ω
.
∂
u
∂
(
·
)
→
→
∞
Nimmt man an, die Gleichung (6.80) ist lösbar und
t
,
0 für
t
(beides in ei-
t
nem geeignetem Sinn), so liefert die Lösung
u
0
eine Approximation an eine Lösung von (6.79). Die Gleichung (6.80) kann nun diskre-
tisiert und mit einer in Abschnitt 5.4 vorgestellten Methode numerisch gelöst werden,
zum Beispiel durch Finite-Differenzen-Approximation und einem semi-impliziten Zeit-
schrittverfahren. Dabei iteriert man das Verfahren solange, bis die Differenz zwei auf-
einanderfolgender Schritte hinreichend klein ist (was einer „kleinen“ diskreten Zeita-
bleitung entspricht).
(
T
,
·
)
für ein entsprechend großes
T
>
Beispiel 6.130
(Variationelles Entrauschen)
Die Euler-Lagrange-Gleichung (6.40) zu der Minimierungsaufgabe
1
q
+
p
u
0
q
d
x
p
d
x
min
Ω
|
u
−
|
Ω
|∇
u
|
∈L
q
u
(Ω)
in Anwendungsbeispiel 6.94 stellt eine nichtlineare elliptische Gleichung dar. Ihre insta-
tionäre Version lautet, mit Anfangswert
f
u
0
,
=
⎧
⎨
div
u
∂
u
∂
−
−
p
2
u
0
q
2
u
0
t
−
|∇
|
∇
=
|
−
|
(
−
)
]
∞[
×
Ω
u
u
u
in
0,
p
−
2
|∇
|
∇
· ν
=
]
∞[
× ∂
Ω
u
u
0
auf
0,
⎩
u
0
u
(
0,
·
)=
in
Ω
,
was einer nichtlinearen Diffusionsgleichung (mit nichtlinearem Term nullter Ordnung)
entspricht. Diese kann man mit den Methoden aus Unterabschnitt 5.4.1 numerisch be-
handeln. Wählt man eine Ortsschrittweite
h
>
0, eine Zeitschrittweite
τ
>
0, bezeichnet
mit
U
n
die diskrete Lösung zum Zeitpunkt
n
(mit
U
0
den diskreten verrauschten Da-
ten), diskretisiert weiterhin den Diffusionskoeffizienten
τ
−
p
2
|∇
u
|
durch
|∇
p−
2
2
2
|
i
±
1,
j
+
|∇
|
i
,
j
=
(
−
)
+
(
−
)
U
U
U
i
+
1,
j
U
i
,
j
U
i
,
j
+
1
U
i
,
j
2
i
,
j
(
)
i±
=
|∇
|
A
U
,
U
,
1
2
,
j
2
h
2
h
2
