Image Processing Reference
In-Depth Information
u
†
k
0
, PSNR
u
0
,
u
†
u
∗
, PSNR
u
∗
,
u
†
(
∗
k
)=
33,96db
(
)=
23,59db
Abbildung 6.27.
Lösung des variationellen Entfaltungsproblems mit monochromatisch verrauschten, unschar-
fen farbigen Daten. Oben: das Originalbild
u
†
. Unten, von links nach rechts: der Faltungskern
k
, die gegebenen
Daten
u
0
, die Rekonstruktion
u
∗
der
L
2
-TV-Entfaltung (mit Frobenius-Matrixnorm).
Die Minimierungsprobleme (6.74)-(6.78) sind konvexe Optimierungsaufgaben in einem
Banach-Raum. Sie lassen sich daher mit der gleichen Analysis wie in diesem Kapi-
tel behandeln. Statt des skalaren Falls müssen allerdings die analogen Aussagen für
vektorielle Sobolew-Räume beziehungsweise dem Raum der vektoriellen Funktionen
mit beschränkter Totalvariation betrachtet werden. Im Wesentlichen überträgt sich die
Existenz- und Eindeutigkeitstheorie ohne Probleme, man kann daher von (eindeutigen)
Minimierern sprechen. Auch die assoziierte Konvexe Analysis mitsamt Subdifferential-
kalkül lässt sich transferieren, so ist es ebenfalls möglich, Euler-Lagrange-Gleichungen
für Optimalität aufzustellen und zu diskutieren. Sie stellen, je nachdem, ob die Mini-
mierungsprobleme koppeln, in der Regel ein gekoppeltes System von partiellen Diffe-
rentialgleichungen dar, mit ähnlichen Kopplungen der Farbkomponenten wie für die
Perona-Malik-Gleichung (siehe Unterabschnitt 5.3.1).
In Abbildung 6.26 sind numerische Ergebnisse dieser drei Variationsmethoden an-
hand des Totalvariations-Entrauschen mit quadratischem Datenterm gezeigt. Alle lie-
fern gute Resultate, Unterschiede werden jedoch in den Details deutlich: An scharfen