Variationsmethoden - Mathematische Bildverarbeitung - page 362

Das Subdifferential von F 2 ist wie in (6.45) gegeben, mit der Charakterisierung von

TV ergibt sich analog zu Anwendungsbeispiel 6.98, dass u ∗ ein Minimierer von (6.69)
genau dann ist, falls es ein

∂

σ ∗ ∈D div,∞ gibt, für welches die folgenden Bedingungen

erfüllt sind:

⎧
⎨ u ∗ = u 0 Ω \ Ω in

σ ∗ = Ω σ ∗ ∞ ≤ −

div 0, 1 in

σ ∗ · ν =

0 auf ∂ Ω

u ∗ | Ω )

σ ∗ = ∇ (

(6.71)

u ∗ | Ω ) | ⎩

|∇ (

-fast-überall

u ∗ | Ω ) |

|∇ (

σ ∗ = ν u ∗ | ∂ Ω < u 0

auf

{ | ∂ ( Ω \ Ω ) }

σ ∗ = −ν u ∗ | ∂ Ω > u 0 { | ∂ ( Ω \ Ω ) } auf .

σ ∗ wieder als mittlere Krümmung der Level-Sets von u ∗ auffassen,
die Optimalitätsbedingungen besagen also, dass diese dort verschwinden müssen. Je-
des Level-Set stellt also definitionsgemäß als eine sogenannte Minimalfläche dar, der Be-
griff begründet für BV-Funktionen eine eigene Theorie, siehe zum Beispiel [64]. Diese
Minimalflächen sind auf dem Rand

Ω kann man In

∂ Ω mit den Level-Sets von u 0 dort verbunden, wo

die Spuren u ∗ | ∂ Ω und u 0

übereinstimmen. In diesem Fall entsteht beim Betrach-
ten von u ∗ Eindruck, dass tatsächlich Objektgrenzen verbunden wurden. Es kann aller-
dings auch vorkommen, dass u ∗ an Teilen von

| ∂ (Ω \ Ω )

∂ Ω springt. Dies geschieht laut (6.71) nur
unter bestimmten Bedingungen, nichtsdestotrotz „endet“ in diesem Fall ein Level-Set
von u 0 am Rand, was den Eindruck eines „abgeschnittenen“ Objekts zur Folge hat.
Für Bilder, also d

2, bedeutet die Bedingung der verschwindenden mittleren
Krümmung, dass, für den Fall, dass sich Objektgrenzen durch das TV-Inpainting ver-
binden, die Verbindung immer durch eine gerade Linie hergestellt wird (siehe Aufga-
be 6.40). Dies lässt sich in den Abbildungen 6.22 und 6.23 beobachten.

=

u ∗ u 0

Abbildung 6.22. Illustration des Totalvariations-Inpaintings. Links: Die gegebenen Daten, die auf den schwar-
zen Regionen restauriert werden sollen (vergleiche auch Abbildung 6.14). Rechts: Die Lösung der zugehöri-
gen Minimierungsaufgabe (6.69). Kanten zu größeren Objekten werden in diesem Beispiel sehr gut rekonstru-
iert, filigrane Strukturen jedoch häufig unterbrochen.