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Für die Optimalitätsbedingungen untersuchen wir das Totalvariations-Funktional
auf der Menge
(Ω)
v
L
q
u
0
Ω
\
Ω
}
=
{
∈
=
K
v
fast-überall auf
.
u
0
∈
(
)
<
∞
=
+
Ein
v
K
mit TV
v
muss
v
u
mit
u
der Nullfortsetzung eines Elements in
(
Ω
)
(
Ω
)
BV
erfüllen. Andersherum ist nach Satz 6.111 die Nullfortsetzung jedes
u
∈
BV
(Ω)
in BV
enthalten. Es gilt also:
u
u
u
0
L
q
u
0
(
Ω
)
}
{
u
∈
BV
(
Ω
)
|
Ω
\
Ω
=
|
Ω
\
Ω
}
=
{
u
∈
(
Ω
)
|
Ω
\
Ω
=
|
Ω
\
Ω
,
u
|
Ω
∈
BV
.
Die Minimierungsaufgabe (6.69) lautet anders geschrieben
TV
u
u
0
(Ω)
v|
Ω
\
Ω
=
u
0
min
χ
Ω
+
+
I
|
Ω
\
Ω
}
(
u
)
.
(6.70)
L
q
{
v
∈
∈L
q
u
(Ω)
Der erste Summand in (6.70), bezeichnen wir ihn mit
F
1
, ist auf dem affinen Unterraum
u
0
u
L
q
+
=
{
∈
(Ω)
|
Ω
=
}
X
1
,
X
1
u
0
konstant und damit stetig, während der zweite
I
K
, aus dem gleichen Grund stetig auf
u
0
Summand, das Indikatorfunktional
F
2
=
+
X
2
u
L
q
=
{
∈
(Ω)
|
Ω
\
Ω
=
}
mit
X
2
ist. Dies stellt die Gültigkeit der Summenregel für
Subgradienten sicher (siehe Übungsaufgabe 6.14). Notiert man mit
A
die Abbildung
u
u
0
→
u
χ
Ω
, so folgt rg
(
A
)=
X
2
und man kann, nach Übungsaufgabe 6.15, für
F
1
=
◦
◦
TV
T
u
0
A
die Kettenregel für Subdifferentiale anwenden und bekommt mit Hilfe von Satz 6.51:
TV
u
u
0
A
∗
∂
(
)=
χ
Ω
+
∂
F
1
u
wobei
A
∗
die Nullfortsetzung
L
q
∗
L
q
∗
(Ω
)
→
(Ω)
darstellt. Die Charakterisierung von
(
Ω
)
∂
TV angewandt gibt:
w
∈
∂
F
1
(
u
)
,
u
|
Ω
∈
BV
ist gleichbedeutend mit der Existenz
σ ∈D
div,∞
eines
, so dass gilt:
⎧
⎨
Ω
\
Ω
=
w
0in
σ
·
ν
=
0
auf
∂
Ω
σ
∞
≤
1
σ
=
∇
u
⎩
|∇
u
|
-fast-überall
Ω
|∇
|
−
σ
=
u
div
w
in
u
0
. Korollar 6.112 liefert
mit
u
=
u
χ
Ω
+
−
∂
Ω
u
0
u
0
u
0
d
1
∇
u
=
∇
(
χ
Ω
+
)=
∇
(
|
Ω
)+
∇
(
|
Ω
\
Ω
)+(
|
∂
(Ω
\
Ω
)
−
|
∂
Ω
)
ν
H
u
u
u
wobei
u
0
die Spur von
u
0
∂
Ω
bezüglich
Ω
\
Ω
und
u
∂
Ω
|
∂
(
Ω
\
Ω
)
|
∂
Ω
die Spur auf
auf
Ω
bezeichne. Da div
Ω
\
Ω
beliebig ist, spielt
bezüglich
σ
auf
σ
dort auch keine Rolle,
die Bedingung an die Spur von
σ
kann entsprechend modifiziert werden zu
⎧
⎨
σ
=
∇
(
|
Ω
)
u
|∇
(
u
|
Ω
)
|
-fast-überall
|∇
(
u
|
Ω
)
|
u
0
σ
=
ν
auf
{
u
|
∂
Ω
<
|
∂
(Ω
\
Ω
)
}
⎩
u
0
σ
=
−ν
{
|
∂
Ω
>
|
∂
(
Ω
\
Ω
)
}
auf
u
,
d
−
1
-fast-überall auf
∂
Ω
.
letztere Gleichungen
H
