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u
n
(
)
Bezeichnet
F
das Zielfunktional in (6.65), impliziert die Wahl von
, die Eigenschaf-
v
n
und die Unterhalbstetigkeit von
F
in
L
q
ten von
(
)
(
Ω
)
1
q
v
∗
)
≤
v
n
u
∗
−
u
0
q
d
x
u
n
u
∗
)
F
(
lim inf
n
F
(
)
≤
Ω
|
|
+
lim inf
n
λ
TV
(
)=
F
(
.
→
∞
→
∞
min
R
, max
L
,
u
∗
)
,
Folglich ist
v
∗
ein Minimierer und nach Eindeutigkeit gilt
u
∗
=
(
was die Aussage beweist.
Das variationelle Entrauschen nach Beispiel 6.124, liefert insbesondere, wie schon
die Methode in Anwendungsbeispiel 6.94, eine Lösung
u
∗
∈
L
∞
(
Ω
)
falls
u
0
L
∞
(
Ω
)
∈
.
u
0
u
∗
|
q
−
2
u
0
u
∗
)
∈
L
∞
(Ω)
|
−
(
−
In diesem Fall folgt auch
und als Konsequenz der Gül-
κ
∗
=
σ
∗
∈
L
∞
(
Ω
)
tigkeit der Euler-Lagrange-Gleichung (6.66),
div
. Mit der Interpretati-
κ
∗
als mittlere Krümmung müssen demnach die mittleren Krümmungen der Level-
Sets von
u
∗
im wesentlichen beschränkt sein. Diese Bedingung lässt immer noch zu,
dass
u
∗
Unstetigkeiten besitzt (im Gegensatz zu den zum Sobolew-Strafterm assoziier-
ten Lösungen von (6.39)), Ecken und Objekte mit hoher Krümmung können aber nicht
reproduziert werden.
Abbildung 6.19 zeigt einige numerische Beispiele dieser Methode. Dort kann man
sehen, dass sie sehr gute Ergebnisse für stückweise konstante Funktionen liefert, vor
allem was die Rekonstruktion der Objektgrenzen bei gleichzeitigem Entfernen des Rau-
schen angeht. Ist diese Bedingung verletzt, und das kommt bei natürlichen Bildern in
der Regel vor, entstehen häufig Artefakte, die das Ergebnis „blockig“ oder „stufig“ wir-
ken lassen. Man spricht in diesem Zusammenhang wieder von Stufenartefakten (eng-
lisch: „staircasing artifacts“) oder dem Staircasing-Effekt.
Die Wirkung des Regularisierungsparameters
on
2, beispielhaft
in Abbildung 6.20 beobachten. Mit größeren Werten nimmt auch die Größe der Details
zu, die in der geglätteten Bildern nicht mehr rekonstruiert werden, relevante Kanten
bleiben aber erhalten. Ein unerwünschter Effekt, der sich bei großen
λ
lässt sich, für
q
=
zeigt, ist eine
Reduktion des Kontrastes. Wie man zeigen kann, ist dies eine Konsequenz des quadra-
tischen Fehlerterms und es ist möglich, ihn durch den Übergang zu der
L
1
-Norm zu
umgehen (
L
1
-TV, siehe auch [37, 52]). Lösungen dieses Problems erfüllen sogar eine
Variante der Grauwert-Skalierungsinvarianz [GSI] aus Kapitel 5. Zu geeigneten, streng
monoton steigenden
h
:
R
λ
R
ist für einen Minimierer
u
∗
des
L
1
-TV-Problems zu den
Daten
u
0
die skalierte Version
h
→
u
∗
ein Minimierer zu den Daten
h
u
0
, siehe Übungs-
◦
◦
aufgabe 6.38 für mehr Details.
Beispiel 6.127
(Entfalten mit Totalvariation-Strafterm)
Das TV-Bildmodell lässt sich natürlich auch für das Entfalten einsetzen. Wie in Anwen-
dungsbeispiel 6.97 sei
mit
Ω
Ω
⊂
R
d
L
1
∈
(Ω
0
)
=
ein Gebiet,
k
k
d
x
1 und
Ω
ein
Ω
−
Ω
0
⊂
Ω
beschränktes Lipschitz-Gebiet, so dass
. Weiterhin erfülle
q
∈
]
1,
∞
[
die
. Dann gibt es nach Satz 6.115 für jedes
u
0
L
q
(Ω
)
≤
(
−
)
∈
λ >
Bedingung
q
d
/
d
1
und
0
eine Lösung der Minimierungsaufgabe
1
q
u
0
q
d
x
min
Ω
|
u
∗
k
−
|
+
λ
TV
(
u
)
.
(6.67)
L
q
u
∈
(Ω)
