Image Processing Reference
In-Depth Information
D
div,∞
Dieses Ergebnis zeigt schon einmal, dass wir den Funktionenraum
und die
∇
∗
auf
,
R
d
)
∗
verwenden können. Um nun eine Darstel-
schwache Divergenz statt
M
(
Ω
D
div,∞
lung wie (6.60) mit
zu bekommen, fehlt noch eine zu (6.59) analoge Charakte-
risierung. Wie wir gesehen haben, ist ein wesentlicher Bestandteil dafür die „Spurbil-
dung“
,
R
d
)
∗
nach
L
|μ|
(Ω
,
R
d
σ →
(
σ
)
|
μ
|
M(Ω
)
von
. Etwas Analoges wird für allge-
,
R
d
meine
σ
∈D
div,∞
und
μ
∈
M
(
Ω
)
nicht möglich sein, aber nach (6.63) können wir
μ
=
∇
∈
(Ω)
uns auf
u
mit einer Funktion
u
BV
beschränken. Dies ist Gegenstand des
folgenden Lemmas.
Lemma 6.119
(Spuren von
D
div,∞
-Vektorfeldern)
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, q
L
q
Ω
⊂
∈
]
∞[
∈
(Ω)
∩
(Ω)
Für
1,
und u
BV
gibt es
eine lineare und stetige Abbildung
T
u
L
|∇
u
|
(
Ω
)
T
u
σ
∞
≤
σ
∞
:
D
div,∞
→
mit
,
,
R
d
σ ∈D
(Ω
)
so dass für jedes
gilt:
T
u
σ
=
σ ·
∇
u
in L
|∇u|
(Ω)
,
|∇
u
|
∇
u
u sei. Darüber hinaus ist T
u
schwach
∇
wobei
das Vorzeichen aus der Polarzerlegung von
|∇
u
|
stetig in dem Sinn, dass gilt:
in L
q
∗
n
,
R
d
σ
(Ω
)
σ
∗
T
u
σ
n
T
u
σ
in L
|∇u|
(Ω)
=
⇒
.
in L
q
∗
n
div
σ
div
σ
(
Ω
)
L
q
Beweis.
Es sei
u
∈
BV
(
Ω
)
∩
(
Ω
)
gegeben. Zu einem
σ
∈D
div,∞
wählen wir nach
n
,
R
d
n
n
(
σ
)
D
(Ω
)
σ
∞
≤σ
∞
, lim
n→
∞
σ
=
σ
Bemerkung 6.117 eine Folge
in
mit
n
sowie lim
n→
∞
in den entspre
ch
enden Räumen. Dazu konstruieren wir
eine Linearform wie folgt. Zu jedem
div
σ
=
div
σ
ϕ ∈C
∞
(Ω)
sei
n
n
L
(
ϕ
)=
−
u
(
ϕ
div
σ
+
∇
ϕ
·
σ
)
d
x
=
lim
n
→
∞
−
u
(
ϕ
div
σ
+
∇
ϕ
·
σ
)
d
x
Ω
Ω
aufgrund von Konvergenz in
L
q
∗
L
q
n
,
R
d
(Ω)
∈
(Ω)
∈D
(Ω
)
und
u
. Es gilt
ϕσ
mit
n
n
n
, damit folgt, da
u
div
(
ϕσ
)=
ϕ
div
σ
+
∇
ϕ
·
σ
∈
BV
(
Ω
)
, aufgrund der Charakte-
risierung von TV in (6.52)
d
x
=
u
n
n
d
|
L
(
ϕ
)
|
=
lim
n
u
div
(
ϕσ
)
lim
n
Ω
ϕσ
∇
→
∞
→
∞
Ω
n
≤
→
∞
σ
∞
Ω
|ϕ|
|∇
|≤σ
∞
ϕ
1
lim inf
n
d
u
wobei letztere Norm in
L
1
|∇
D
(
Ω
)
⊂C
∞
(
Ω
)
ist nun
dicht in diesem Raum enthalten (siehe Übungsaufgabe 6.35), daher lässt sich
L
eindeu-
tig zu einem Element in
T
u
σ
∈
|
(
Ω
)
genommen wird. Die Menge
u
|∇u|
(
Ω
)
∗
=
L
1
L
|∇u|
(
Ω
)
T
u
σ
∞
≤
σ
∞
mit
fortsetzen.
Die lineare Abbildung
T
u
L
|∇u|
(Ω)
D
div,∞
→
:
ist damit stetig.
