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∈ ∂
(
)
damit ist die Subgradientenungleichung erfüllt und es gilt w
TV
u
.
L q
Als nächstes zeigen wir für w
( Ω )
die Äquivalenz
es gibt ein
σ ∈D div,∞
mit
L q
(
)
(Ω)
(Ω) ⇐⇒
vw d x
TV
v
für alle v
BV
=
σ
w
div
σ
und
1.
Ω
Dies ist gleichbedeutend mit der Gleichheit der Mengen K 1 und K 2 , definiert durch
w
,
L q
L q
K 1 =
( Ω )
vw d x
TV
(
v
)
für alle v
BV
( Ω )
( Ω )
Ω
σ σ ∈D div,∞
K 2
= {−
div
mit
σ
1
}
.
Als Durchschnitt von konvexen, abgeschlossenen Halbräumen ist K 1 konvex, abge-
schlossen und natürlich nichtleer. Genauso sieht man leicht, dass K 2 nichtleer und kon-
vex ist, wir zeigen nun die Abgeschlossenheit. Dazu wähle eine Folge
w n
(
)
in K 2 mit
L q
w n
. Jedes w n lässt sich darstellen als w n
n mit
lim n→
=
w für ein w
( Ω )
=
div
σ
ist nun auch beschränkt in L q
n
n
, R d
σ ∈D div,∞
,es
existiert also eine schwach konvergente Teilfolge, wir indizieren diese wieder mit n .Da
der div-Operator schwach-stark abgeschlossen ist, folgt w
und
σ
1. Die Folge
( σ
)
( Ω
)
=
div
σ
, weiterhin ergibt
sich aus der schwachen Unterhalbstetigkeit der L -Norm
n
σ
σ
lim inf
n
1.
, R d
Es bleibt noch zu zeigen, dass
σ
durch
D ( Ω
)
approximiert werden kann. Da jedes
n in
D div,∞
σ
enthalten ist, bekommen wir analog zur Argumentation in Lemma 6.116
n
, R d
eine Folge
(
σ
¯
)
in
D ( Ω
)
mit
in L q
in L q
n
, R d
n
σ
¯
σ
( Ω
)
und
div ¯
σ
div
σ
( Ω )
.
Mit dem gleichen Argument wie am Ende des Beweises von Satz 6.88 kann man schwa-
che Konvergenz durch starke Konvergenz ersetzen; man bekommt aber möglicherweise
eine andere Folge. Letztendlich gibt dies
σ ∈D div,∞
und damit die Abgeschlossenheit
von K 2 .
Nun ist K 2
K 1 :Zu w
=
div
σ
K 2 existiert nach Bemerkung 6.117 eine Fol-
n
, R d
n
n
( σ
)
D
)
σ
≤σ
1 und lim n→
=
σ =
ge
in
mit
div
σ
div
w
in L q
( Ω )
, daher folgt mit der Supremumsdefinition von TV (6.52) für beliebige v
L q
(Ω)
(Ω)
BV
n d x
=
(
)
vw d x
lim
n
v div
σ
TV
v
,
Ω
Ω
K 1 . Andersherum sei angenommen, es gäbe es ein w 0
also w
K 1 \
K 2 , dann existier-
te nach dem Satz von Hahn-Banach (Satz 2.29) ein Element u 0
L q
(Ω)
, welches die
w 0
kompakte, konvexe Menge
{
}
und K 2 trennt, also
u 0 w d x
u 0 w 0 d x .
<
sup
w
Ω
Ω
K 2
, R d
1, folgt u 0
Da aber
σ ∈
σ ∈D
)
σ
(Ω)
div
K 2 für jedes
mit
BV
und
) < Ω
u 0
u 0 w 0 d x ; ein Widerspruch zu w 0
TV
(
K 1 . Also ist K 1 =
K 2 .
Zusammen mit (6.63) folgt schließlich die Behauptung.
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