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∈ ∂
(
)
damit ist die Subgradientenungleichung erfüllt und es gilt
w
TV
u
.
L
q
∗
Als nächstes zeigen wir für
w
∈
(
Ω
)
die Äquivalenz
es gibt ein
σ
∈D
div,∞
mit
L
q
≤
(
)
∈
(Ω)
∩
(Ω)
⇐⇒
vw
d
x
TV
v
für alle
v
BV
=
−
σ
∞
≤
w
div
σ
und
1.
Ω
Dies ist gleichbedeutend mit der Gleichheit der Mengen
K
1
und
K
2
, definiert durch
w
,
L
q
∗
L
q
K
1
=
∈
(
Ω
)
vw
d
x
≤
TV
(
v
)
für alle
v
∈
BV
(
Ω
)
∩
(
Ω
)
Ω
σ
σ
∈D
div,∞
K
2
=
{−
div
mit
σ
∞
≤
1
}
.
Als Durchschnitt von konvexen, abgeschlossenen Halbräumen ist
K
1
konvex, abge-
schlossen und natürlich nichtleer. Genauso sieht man leicht, dass
K
2
nichtleer und kon-
vex ist, wir zeigen nun die Abgeschlossenheit. Dazu wähle eine Folge
w
n
(
)
in
K
2
mit
L
q
∗
w
n
. Jedes
w
n
lässt sich darstellen als
w
n
n
mit
lim
n→
∞
=
w
für ein
w
∈
(
Ω
)
=
−
div
σ
ist nun auch beschränkt in
L
q
∗
n
n
,
R
d
σ
∈D
div,∞
,es
existiert also eine schwach konvergente Teilfolge, wir indizieren diese wieder mit
n
.Da
der div-Operator schwach-stark abgeschlossen ist, folgt
w
und
σ
∞
≤
1. Die Folge
(
σ
)
(
Ω
)
=
−
div
σ
, weiterhin ergibt
sich aus der schwachen Unterhalbstetigkeit der
L
∞
-Norm
n
σ
∞
≤
→
∞
σ
∞
≤
lim inf
n
1.
,
R
d
Es bleibt noch zu zeigen, dass
σ
durch
D
(
Ω
)
approximiert werden kann. Da jedes
n
in
D
div,∞
σ
enthalten ist, bekommen wir analog zur Argumentation in Lemma 6.116
n
,
R
d
eine Folge
(
σ
¯
)
in
D
(
Ω
)
mit
in
L
q
∗
in
L
q
∗
n
,
R
d
n
σ
¯
σ
(
Ω
)
und
div ¯
σ
→
div
σ
(
Ω
)
.
Mit dem gleichen Argument wie am Ende des Beweises von Satz 6.88 kann man schwa-
che Konvergenz durch starke Konvergenz ersetzen; man bekommt aber möglicherweise
eine andere Folge. Letztendlich gibt dies
σ
∈D
div,∞
und damit die Abgeschlossenheit
von
K
2
.
Nun ist
K
2
⊂
K
1
:Zu
w
=
−
div
σ
∈
K
2
existiert nach Bemerkung 6.117 eine Fol-
n
,
R
d
n
n
(
σ
)
D
(Ω
)
σ
∞
≤σ
∞
≤
1 und lim
n→
∞
−
=
−
σ
=
ge
in
mit
div
σ
div
w
in
L
q
∗
(
Ω
)
, daher folgt mit der Supremumsdefinition von TV (6.52) für beliebige
v
∈
L
q
(Ω)
∩
(Ω)
BV
n
d
x
=
→
∞
−
≤
(
)
vw
d
x
lim
n
v
div
σ
TV
v
,
Ω
Ω
K
1
. Andersherum sei angenommen, es gäbe es ein
w
0
also
w
∈
∈
K
1
\
K
2
, dann existier-
te nach dem Satz von Hahn-Banach (Satz 2.29) ein Element
u
0
L
q
∈
(Ω)
, welches die
w
0
kompakte, konvexe Menge
{
}
und
K
2
trennt, also
u
0
w
d
x
u
0
w
0
d
x
.
<
sup
w
Ω
Ω
∈
K
2
,
R
d
1, folgt
u
0
Da aber
−
σ ∈
σ ∈D
(Ω
)
σ
∞
≤
∈
(Ω)
div
K
2
für jedes
mit
BV
und
)
<
Ω
u
0
u
0
w
0
d
x
; ein Widerspruch zu
w
0
TV
(
∈
K
1
. Also ist
K
1
=
K
2
.
Zusammen mit (6.63) folgt schließlich die Behauptung.