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Satz 6.115
(Tichonow-Funktionale mit Totalvariation-Strafterm)
Für ein beschränktes Lipschitz-Gebiet
Ω
,q
∈
]
1,
∞
[
, einen Banach-Raum Y und A
∈
L
q
L
(
(Ω)
)
,
Y
gilt: Ist
1.
q
≤
d
/
(
d
−
1
)
und A verschwindet nicht auf konstanten Funktionen oder
(
)
2.
A injektiv und
rg
A
abgeschlossen,
so existiert für jedes u
0
0
eine Lösung u
∗
des Minimierungsproblems
∈
Y, r
∈
[
1,
∞
[
und
λ
>
u
0
r
Y
Au
−
min
+
λ
TV
(
u
)
.
(6.57)
r
L
q
u
∈
(Ω)
1
und die Norm in Y strikt konvex, so ist u
∗
mit Sicherheit eindeutig.
Ist A injektiv, r
>
Der
Beweis
kann mit Hilfe von Satz 6.114 erbracht werden, dazu müssen die geforderten
Eigenschaften an
1
r
u
0
r
Y
nachgewiesen werden. Dies ist genau mit der Ar-
gumentation aus Satz 6.86 möglich. Die Eindeutigkeit folgt schließlich aus allgemein
en
Überlegungen zu Tichonow-Funktionalen (siehe Beispiel 6.32).
Als nächstes ist man natürlich daran interessiert, Optimalitätsbedingungen für Mi-
nimierungsprobleme mit Totalvariation aufstellen. Dazu ist der Subgradient von TV
von Interesse. Um eine Intuition zu bekommen, wie dieser aussehen kann, schreiben
wir TV
Φ
=
Au
−
als abgeschlossene Abbildung zwischen
L
q
=
·
M
◦∇
∇
(Ω)
, wobei
und
,
R
d
M
(
Ω
)
aufgefasst wird. Damit ist nach dem Resultat von Übungsaufgabe 6.12
=
∇
∗
◦ ∂·
M
◦∇
∂
TV
.
,
R
d
,
R
d
)
∗
. Laut Beispiel 6.49 entspricht dieser
Untersuchen wir
∂
·
M
⊂
M
(
Ω
)
×
M
(
Ω
,
R
d
μ ∈
M(Ω
)
Subgradient, für ein
, der Menge
{
σ
M
∗
≤
1
}
falls
μ
=
0,
∂
·
M
(
μ
)=
(6.58)
{
σ
M
∗
=
1,
σ
,
μ
M
∗
×
M
=
μ
M
}
sonst
,
R
d
)
∗
. Nun gibt es keine einfache Charakterisierung des Raum-
M(Ω
als Teilmenge des
)
∗
als Raum von Funktionen oder Maßen, deswegen lassen sich die Men-
gen nur schwer beschreiben. Wir stellen jedoch fest, dass wir für
,
R
d
es
M
(
Ω
,
R
d
)
∗
mit
σ ∈
M(Ω
σ
M
∗
≤
1 folgende Konstruktion anwenden können: Mit dem Totalvariations-Maß
L
1
,
R
d
|
μ
|
(siehe Definition 2.57) und einem beliebigen
v
∈
|μ|
(
Ω
)
ist das endliche vek-
ein Radon-Maß mit
v
|
μ
|
M
=
1
, letztere Norm in
L
1
,
R
d
torwertige Maß
v
|
μ
|
v
|μ|
(
Ω
)
genommen. Somit folgt
|μ|
M
∗
×
M
≤
v
|μ|
M
=
σ
1
.
,
v
v
L
1
,
R
d
Da
v
∈
|μ|
(
Ω
)
beliebig war und
|
μ
|
endlich ist, kann man
σ
aufgrund der Dualität
L
|μ|
(
Ω
,
R
d
mit einem Element in
(
σ
)
|μ|
∈
)
mit
(
σ
)
|μ|
∞
≤
1 identifizieren. Mit der
L
|μ|
(
Ω,
R
d
Polarzerlegung
μ
=
σ
μ
|
μ
|
,
σ
μ
∈
)
(siehe Satz 2.58) folgt nun
σ
μ
M
∗
×
M
=
μ
M
⇐⇒
Ω
(
σ
)
|μ|
· σ
μ
d
|μ|
=
|μ|
,
1d
.
Ω
