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M
n
w
∞
≤
Damit ist
1.
Zu Unterpunkt 2: Es folgt mit
Ω
ψ
K
k
n
d
x
=
1 und
∇
ϕ
k
·
w
=
0 für alle
x
∈
Ω
∑
=
0
K
k
=0
ϕ
k
(
x
)
div
)
(
div
w
)
ψ
(
M
n
w
n
−
w
x
)=
(
y
)
−
div
w
(
x
(
y
−
x
+
t
n
η
k
)
d
y
Ω
K
k
=0
∇
ϕ
k
(
x
)
·
w
)
ψ
n
+
(
y
)
−
w
(
x
(
y
−
x
+
t
n
η
k
)
d
y
.
Ω
Sowohl
w
also auch div
w
sind gleichmäßig stetig in
Ω
, wir können also zu
ε
>
0 ein
δ
>
0 wählen, so dass
|
w
(
x
)
−
w
(
y
)
|≤
ε
und
|
div
w
(
x
)
−
div
w
(
y
)
|≤
ε
für alle
x
,
y
∈
Ω
n
beliebig klein wird, lässt
mit
|
−
|≤δ
(
)
x
y
. Da nun
t
n
eine Nullfolge ist und supp
ψ
n
sich ein
n
0
finden mit dem für alle
n
≥
n
0
gilt:
|
x
−
y
+
t
n
η
k
|∈
supp
ψ
⇒|
x
−
y
|≤
δ
.
Für diese
n
bekommen wir die Abschätzung
div
≤
ε
K
k
=
0
ϕ
k
(
x
)
K
k
=
0
|∇
ϕ
k
(
x
)
|
(
M
n
w
n
n
−
w
)(
x
)
R
d
ψ
(
y
)
d
y
+
ε
R
d
ψ
(
y
)
d
y
≤
C
ε
.
>
Die Konstante
C
0 kann unabhängig von
n
gewählt werden, daher konvergiert
M
n
w
div
.
Zu Unterpunkt 3: Wir können leicht nachrechnen, dass
−
div
w
∞
→
0 für
n
→
∞
K
K
k
=0
K
k
=0
∇ϕ
k
= 0,
k
=0
T
t
n
η
k
(
u∇ϕ
k
)
∗ ψ
n
→
∞
N
n
u
=
=
T
t
n
η
k
(
∇ϕ
k
)=
lim
n
lim
n
lim
n
u
u
→
∞
→
∞
denn Glätten mit einem Mollifier konvergiert in
L
1
(Ω)
(siehe Lemma 3.16) und Trans-
lation ist stetig in
L
1
(siehe Übungsaufgabe 3.4).
Zusammen mit (6.54) liefern die Aussagen der Unterpunkte die gewünschte Kon-
(
Ω
)
vergenz von
Ω
|∇
u
n
|
d
x
: Für ein beliebiges
ε
>
0 lässt sich
n
0
so wählen, dass für alle
1
≤
3
. Für diese
n
und beliebige
w
,
R
d
n
≥
n
0
gilt:
N
n
u
∈D
(
Ω
)
mit
w
∞
≤
1 folgt
nun mit (6.54) und der Supremumsdefinition (6.52)
u
n
div
w
d
x
(
M
n
w
=
u
div
)
d
x
−
Ω
(
N
n
u
)
w
d
x
Ω
Ω
M
+
3
.
≤∇
M
+
N
n
u
1
∞
≤∇
u
w
u
Bildet man für jedes
n
das Supremum über alle Testfunktionen
w
, ergibt dies insbeson-
dere
u
n
Ω
|∇
|
d
x
≤∇
u
M
+
ε
.
,
R
d
Andererseits lässt sich nach (6.52) ein
w
∈D
(
Ω
)
mit
w
∞
≤
1 wählen, für welches
Ω
M
−
3
. Für dieses
w
kann nun für ein
n
1
sichergestellt werden,
≥∇
u
div
w
d
x
u
dass für alle
n
≥
n
1
d
x
≤
)
∞
≤
3
.
(
M
n
w
(
M
n
w
−
)
1
−
u
div
w
u
div
w
Ω
