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Um einen Existenzsatz für Funktionale mit einem Totalvariation-Strafterm analog zu
Satz 6.84 führen zu können, benötigen wir noch eine entsprechende Koerzivität für
.
Diese wird wieder aus einer Poincaré-Wirtinger-Ungleichung folgen, diesmal jedoch für
das TV-Funktional. Um diese beweisen zu können, sind einige Vorbereitungen nötig.
Ψ
Lemma 6.106
Es sei
Ω
ein beschränktes Lipschitz-Ge
bie
t und
1
≤
q
<
∞
. Dann existiert zu jedem u
∈
L
q
u
n
C
∞
(Ω)
(Ω)
∩
(Ω)
(
)
BV
eine Folge
in
mit
u
n
uinL
q
u
n
lim
n
=
(
Ω
)
und
lim
n
Ω
|∇
|
d
x
=
∇
u
M
.
→
∞
→
∞
M
n
aus Satz 6.74, die Folge
u
n
=
M
n
u
für
Beweis.
Wir zeigen, dass mit den Operatoren
L
q
u
∈
BV
(
Ω
)
∩
(
Ω
)
bereits diese Eigenschaften besitzt. Dazu sei an dessen Definition
erinnert:
k
=0
T
t
n
η
k
(
ϕ
k
u
)
∗
ψ
K
n
M
n
u
=
(
ϕ
k
)
mit einer glatten Partition der Eins
, Verschiebungsvektoren
η
k
, Schrittweiten
t
n
n
. Es konvergiert
u
n
u
in
L
q
und skalierten Mollifiern
ψ
→
(
Ω
)
, dies folgt sofort mit der
Argumentation im Beweis von Satz 6.74.
Wählen wir nun
w
,
R
d
∈D
(
Ω
)
mit
w
∞
≤
1 als Testfunktion, so ergibt sich
u
n
div
w
d
x
(
M
n
div
w
(
M
n
w
(
N
n
w
=
)
=
)
−
)
u
d
x
u
div
d
x
u
d
x
Ω
Ω
Ω
Ω
(
M
n
w
=
u
div
)
d
x
−
Ω
(
N
n
u
)
·
w
d
x
(6.54)
Ω
wobei
k
=0
ϕ
k
T
−
t
n
η
k
(
w
∗
ψ
K
)
,
k
=0
∇
ϕ
k
·
T
−
t
n
η
k
(
w
∗
ψ
K
)
M
n
w
n
N
n
w
n
=
=
und
¯
n
n
(die Operatoren stimmen mit den Adjungierten der Operatoren
ψ
=
D
−
id
ψ
M
n
N
n
im Beweis von Satz 6.88 überein). Unser Ziel ist es, folgende Unterpunkte zu
zeigen:
1.
und
M
n
w
,
R
d
M
n
w
∈D
(Ω
)
∞
≤
∈
mit
1 für alle
n
N
,
(
M
n
w
2.
lim
n→
∞
div
)=
div
w
in
C
(
Ω
)
sowie
0in
L
1
lim
n
→
∞
N
n
u
=
(Ω)
3.
.
Zu Unterpunkt 1: Aus den Eigenschaften von
M
n
folgt schon
M
n
w
,
R
d
∈D
(
Ω
)
(siehe
Beweis von Satz 6.88), schätze also für
x
∈
Ω
unter Berücksichtigung der Eigenschaften
von Partitionen der Eins und Mollifiern ab,
k
=
0
ϕ
k
K
|
(
M
n
w
n
)(
x
)
|≤
Ω
|
w
(
y
)
|
ψ
(
y
−
x
+
t
n
η
k
)
d
y
(6.55)
k
=
0
ϕ
k
R
d
ψ
K
n
≤
∞
(
)
≤
∞
≤
w
y
d
y
w
1.
