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u
∇
u
Γ
σ
∇
=
σ
H
1
Γ
Abbildung 6.18.
Eine stückweise konstante Funktion
u
und ihr Gradient als Radon-Maß. Es gilt
u
,
wobei
σ
das in der rechten Grafik visualisierte Vektorfeld auf der Unstetigkeitsmenge
Γ
(linke Grafik) be-
1
-Maß Null und dort ist
zeichnet. Der Punkt der T-Kreuzung in
Γ
hat
H
∇
u
nicht definiert.
Mit den Vorbereitungen aus Lemma 6.103 sehen wir, dass die Totalvariation die für
die direkte Methode relevanten Eigenschaften besitzt, die das Funktional
Ω
|∇·|
d
x
nicht aufweist.
Lemma 6.105
Es sei
R
d
ein beschränktes Gebiet. Der Raum der
Funktionen mit beschränkter Total-
Ω
∈
variation
(
Ω
)
∇
L
1
,
R
d
BV
(
Ω
)=
{
u
∈
u
∈
M
(
Ω
)
}
BV
=
1
+
∇
M
versehen mit der Norm
u
u
u
ergibt einen Banach-Raum.
Sei weiterhin
ϕ
:
[
0,
∞
[
→
R
eigentlich, konvex, unterhalbstetig und monoton steigend.
∞
Dann ist das Funktional
ϕ
M
für u
)=
ϕ
TV
)
=
∇
∈
(Ω)
u
BV
Ψ(
(
u
u
∞
sonst
eigentlich, konvex und (schwach) unterhalbstetig auf jedem L
q
(
Ω
)
,
1
≤
q
<
∞
.
Beweis.
Wir zeigen zunächst die Eigenschaften des Funktionals
Ψ
. Es ist
Ψ
(
0
)=
ϕ
(
0
)
, also ist
Ψ
eigentlich. Auch sehen wir sofort, dass
·
M
konvex, schwach*-
unterhalbstetig und koerziv ist. Da nun
∇
∇
=
(Ω)
mit dom
BV
stark-schwach* ab-
geschlossen zwischen
L
q
,
R
d
ist (es gilt
L
q
L
1
(
Ω
)
und
M
(
Ω
)
(
Ω
)
→
(
Ω
)
), folgt nach dem
·
M
◦∇
Zusatz in Beispiel 6.29 die Konvexität und Unterhalbstetigkeit von
und nach
den Lemmata 6.14 und 6.21 auch von
Ψ
=
ϕ
◦·
M
◦∇
.
(Ω)
Klar ist, dass BV
ein normierter Raum ist, beweisen wir also die Vollständig-
u
n
L
1
keit. Es sei
(
)
eine Cauchy-Folge in BV
(
Ω
)
. Damit gibt es ein
u
∈
(
Ω
)
, so dass
u
n
u
in
L
1
=
(Ω)
≥
lim
n
→
∞
. Für jedes
k
1 existiert weiterhin ein
n
k
, so dass für alle
u
n
k
u
m
1
m
≥
n
k
gilt:
∇
(
−
)
M
≤
k
. Mit der Unterhalbstetigkeit von
·
M
◦∇
folgt
1
k
,
u
n
k
u
n
k
u
m
∇
(
−
u
)
M
≤
lim inf
m
→
∞
∇
(
−
)
M
≤
u
n
k
∈
(Ω)
∇
(
−
)
M
→
→
∞
insbesondere gilt
u
BV
und es konvergiert
u
0 für
k
. Die
u
n
Folge
hat aber als Cauchy-Folge in
R
höchstens einen Häufungspunk
t,
daher gilt auch lim
n→
∞
∇
(
(
∇
(
−
u
)
M
)
u
n
u
n
−
)
M
=
=
(Ω)
u
0 und folglich lim
n→
∞
u
in BV
.
