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H
1,1
u
k
. Für
∈
(Ω
1
∪···∪
Ω
K
)
(
∇
)
L
1
|
Ω
k
=
∇
ϕ ∈
Zunächst ist klar, dass
u
mit
u
,
R
d
D
(Ω
)
folgt nun
K
k
=
1
−
u
k
k
d
d
1
u
k
d
x
=
∩
Ω
ϕ ·
−
k
ϕ ·∇
u
div
ϕ
d
x
ν
H
(6.53)
Ω
∂
Ω
Ω
k
k
wobei mit
ν
die äußere Normale bezüglich
Ω
k
bezeichnet sei. Di
es k
a
nn
man
≤
<
≤
= Ω
l
∩
Ω
k
∩
Ω
folgendermaßen umschreiben: Für Paare 1
l
k
K
sei
Γ
l
,
k
k
auf
sowie
ν
=
ν
Γ
l
,
k
. Damit ist
k
l
ν
=
ν
auf
Γ
l
,
k
∩
Ω
k
,
ν
=
−
ν
auf
Γ
l
,
k
∩
Ω
l
und für 1
≤
k
≤
K
gilt
∂
Ω
k
∩
Ω
=
Γ
1,
k
∪···∪
Γ
k−
1,
k
∪
Γ
k
,
k
+1
∪
...
∪
Γ
k
,
K
,
es folgt demnach
−
k
1
l
=1
K
∑
u
k
k
d
d
−
1
u
k
d
−
1
u
k
d
−
1
.
∂
Ω
k
∩
Ω
ϕ
·
ν
H
=
Γ
l
,
k
ϕ
·
ν
d
H
−
Γ
k
,
l
ϕ
·
ν
d
H
l
=
k
+1
Eingesetzt in (6.53) ergibt sich die Darstellung
K
k
=1
k
−
1
l
=1
u
l
u
k
d
−
1
=
−
Γ
l
,
k
ϕ ·
(
−
)
ν
−
Ω
ϕ ·
(
∇
)
L
1
d
x
,
u
div
ϕ
d
x
d
H
u
Ω
also folgt
d
+
l<k
(
u
l
u
k
d
−
1
∇
=(
∇
)
L
1
L
−
)
ν
H
Γ
l
,
k
.
u
u
Man beachte, dass diese Darstellung unabhängig von der Reihenfolge der
Ω
k
ist:
u
l
u
k
Das Produkt
(
−
)
ν
bleibt bei Vertauschung von
Ω
k
und
Ω
l
invariant. Wie man
sehen kann (Übungsaufgabe 6.37), stellt
u
ein endliches vektorwertiges Radon-
Maß dar und die Norm genügt der Identität
∇
1
+
l<k
u
l
u
k
d
−
1
.
TV
(
u
)=
∇
u
M
=
(
∇
u
)
L
1
Γ
l
,
k
|
−
|
d
H
Es wird also der schwache Gradient in der
L
1
-Norm gemessen und die „Sprünge“
u
l
u
k
−
der Funktion
u
auf den Schnittstellen
Γ
l
,
k
, siehe auch Abbildung 6.18 für
ein simples Beispiel.
Die Betrachtungen zeigen insbesondere, dass, benutzt man die Totalvariation als
Strafterm für Minimierungsaufgaben, Funktionen mit Unstetigkeiten zugelassen
werden. Für Bilder ist diese Eigenschaft vorteilhaft, denn diese kann man sich
im Idealfall glatt innerhalb eines Objektes
Ω
k
vorstellen und unstetig an den Ob-
jektgrenzen (beziehungsweise Kanten)
∂
Ω
k
. Man könnte also erwarten, dass die
Lösungen von geeigneten Optimierungsaufgaben diese Eigenschaften besitzen.
