Image Processing Reference
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U
0
u
∗
,
k
u
∗
,
k
=
k
const
,
p
=
1,1
=
k
const
,
p
=
2
u
∗
,
k
u
∗
,
k
=
=
=
=
k
sinc
,
p
1,1
k
sinc
,
p
2
Abbildung 6.16.
Vergleich verschiedener Abtastoperatoren
A
in der variationellen Interpolationsaufgabe (6.47).
Oben links: Die Ausgangsdaten
U
0
96 Pixel). Rechts daneben: Ergebnisse der achtfachen Vergrößerung
bei Mittelung über Quadrate (
k
const
=
χ
]0,1[
×
]0,1[
(96
×
) zu verschiedenen
p
. Unten: Die jeweiligen Resultate unter
2
. Bei Verwendung des Mitte-
lungsoperators werden in den Lösungen Quadratstrukturen bevorzugt; die Bilder wirken aufgrund dessen
an einigen Stellen „blockig“. Dieser Effekt tritt beim perfekten Tiefpass nicht auf, wegen der fehlenden Loka-
lität der sinc-Funktion können sich jedoch störende Oszillationen bilden.
sinc
x
2
−
1
2
1
Abtasten mit perfektem Tiefpassfilter
k
sinc
(
x
1
,
x
2
)=
sinc
(
x
1
−
)
Beweis.
Wir zeigen die Eigenschaft für
Ω
mit
B
1
(
0
)
⊂⊂
Ω
, der allgemeine Fall folgt
Ω
=
(
)
=
χ
Ω
. Offensichtlich
durch Translation und Skalierung. Dafür sei
B
1
0
und
u
L
q
und betrachten
u
n
ist
u
∈
(
Ω
)
. Wir wäh
len einen
Mollifier
ϕ
∈D
(
B
1
(
0
))
=
u
∗
ϕ
n
−
1
. Damit gilt
u
n
u
in
L
q
für
n
∈
N
derart, dass
B
1+
n
−
1
(
0
)
⊂⊂
Ω
→
(
Ω
)
. Weiterhin folgt
u
n
H
1,1
∈
(
Ω
)
mit
0
n
−
1
n
n
+1
n
falls
|
x
|≤
oder
|
x
|≥
u
n
∇
(
x
)=
u
∗∇
ϕ
n
−
1
sonst
