Image Processing Reference
In-Depth Information
(
)
1.
Löse, für jedes
i
,
j
die Gleichung (6.49).
(
i
,
j
),(
k
,
l
)
=
Ω
∇
=
Ω
z
k
,
l
z
i
,
j
d
x
, den Vektor
w
i
,
j
d
x
·∇
2.
Berechne die Matrix
S
w
i
,
j
und löse das lineare System (6.50).
Ermittle die Lösung
u
∗
durch Einsetzen von
λ
∗
sowie
λ
0
3.
in (6.51).
In der Praxis wird das Lösen von (6.47) beziehungsweise (6.48) numerisch realisiert;
das Gebiet
also entsprechend diskretisiert. Dies erlaubt, aus dem gegebenen Bild
u
0
eine Vergrößerung in beliebiger Auflösung zu gewinnen. Abbildung 6.15 zeigt die In-
terpolationsmethode im Vergleich zu den klassischen Methoden aus Abschnitt 3.1.1. Es
zeigt sich, dass variationelle Interpolation vorteilhaft bei der Rekonstruktion von Bil-
dern mit stark ausgeprägten Kanten haben kann. In Abbildung 6.16 ist weiterhin der
Einfluss des Abtastoperators
A
zu sehen. Dieser gewinnt vor allem an Bedeutung, wenn
die Daten
U
0
nicht exakt zu dem Ausgangsbild
u
†
passen. In diesem Fall werden in der
Regel gerade Kanten nicht genau rekonstruiert, sondern verändern abhängig vom Ab-
tastoperator ihre Form (am besten zu sehen für
p
nahe an 1).
Eine Möglichkeit, die Auswirkungen zu vermindern ist das Zulassen von
Au
Ω
=
U
0
. So kann man beispielsweise statt (6.47) zu minimieren die Lösung des Tichonow-
Funktionals
U
0
2
−
Au
+
p
p
d
x
Ω
|∇
|
min
u
2
∈
L
q
(
Ω
)
u
N
i
M
j
2
auf dem endlichdimensio-
nalen Raum
R
N
×
M
. Wie es bei Tichonow-Funktionalen allgemein der Fall ist, sinkt bei
steigendem
2
2
für ein
λ
>
0 nehmen mit der Norm
v
= ∑
=1
|
v
i
,
j
|
=1
∑
λ
der Einfluss von Datenfehlern bezüglich des Abtastoperators
A
.
6.3.3 Die Totalvariation als Strafterm
>
In den Anwendungsbeispielen im letzten Unterabschnitt haben wir stets
p
1 voraus-
,
R
d
m
m
,
L
p
gesetzt. Dies war vor allem darin begründet, dass der Bildraum von
,
ein reflexiver Banach-Raum ist und man für
F
konvex, unterhalbstetig, koerziv auch
F
∇
(
Ω
)
m
unterhalbstetig folgern konnte (siehe Beispiel 6.29). Anhand der Illustrationen
wurde aber deutlich, dass für
p
◦∇
→
1 die Ergebnisse interessante Effekte aufweisen. Ei-
nerseits werden Kanten stärker hervorgehoben, andererseits wirken die Lösungen „flä-
chiger“, was gerade bei Bildern mit homogenen Regionen vorteilhaft wirkt. Die Frage
stellt sich also, ob man nicht
p
=
1 für den Sobolew-Strafterm verwenden kann, also das
Bildmodell
H
1,1
(
Ω
)
benutzt. Leider gibt dies Probleme für die direkte Methode, denn:
Satz 6.101
(Versagen der Unterhalbstetigkeit der
H
1,1
-Halbnorm)
Sei
R
d
ein Gebiet und q
:
L
q
Ω
⊂
∈
[
1,
∞
[
. Dann ist das Funktional
Ψ
(
Ω
)
→
R
gegeben
∞
durch
Ω
|∇
H
1,1
|
∈
(Ω)
u
d
x
falls u
Ψ(
)=
u
∞
sonst
nicht unterhalbstetig.
