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In-Depth Information
>
für
p
2 ist die Lösung immer noch in einem geeigneten sogenannten
Besow-Raum
enthalten (siehe [130] für Details).
Damit folgt zum Beispiel mit Satz 6.76, dass für
d
2 das entrauschte Bild
u
∗
stets
=
stetig in
Ω
ist (möglicherweise aber nicht steti
g a
uf den Rand fortsetzbar): Für 1
<
p
≤
2
folgt dies aus der Einbettun
g
H
2,
p
(Ω
)
→C
(Ω
)
>
und für
p
2 ist dies schon eine Kon-
sequenz aus
H
1,
p
. Möchte man also Bilder mit Unstetigkeiten rekonstruie-
ren, so ist dies durch Lösen von (6.39) beziehungsweise (6.40) nicht möglich. Man macht
jedoch die Beobachtung, dass sich die Lösungen qualitativ verändern, sobald man
p
verändert: Für
p
nahe an 1 scheinen die Lösungen weniger verwischt, siehe erneut Ab-
bildung 6.11. Dies legt nahe, sich mit dem Fall
p
(
Ω
)
→C
(
Ω
)
=
1 zu beschäftigen, was Thema im
nächsten Unterabschnitt sein wird. Anhand von Abbildung 6.12 lässt sich die Wirkung
des Exponenten
q
im Datenterm studieren. Er hat vor allem Einfluss auf das in der Lö-
sung verbleibende Rauschen, ändert jedoch wenig an den Glattheitseigenschaften der
Lösung.
Bemerkung 6.96
Eine Variation des Entrauschansatzes aus Anwendungsbeispiel 6.94 ist das Betrachten
von Sobolew-Straftermen höherer Ordnung (siehe Übungsaufgabe 6.27). Wieder repro-
duziert im Fall
q
2 die Lösung
u
∗
die entsprechenden polynomialen Anteile von
u
0
=
bis zum Grad
m
−
1.
Anwendungsbeispiel 6.97
(Entfalten mit Sobolew-Strafterm)
Untersuchen wir die Aufgabe der Bildrekonstruktion aus einem gegebenen unscharfen
und verrauschten Bild
u
0
. Wir nehmen an, dass
u
0
Ω
auf dem beschränktem Gebiet
L
1
∈
(Ω
0
)
zur Verfügung steht. Die Unschärfe sei durch eine Faltung mit einem Kern
k
mit
Ω
Ω
wird Information von
u
(höchstens) auf
k
d
x
=
1 modelliert. Für die Daten in
Ω
−
Ω
0
benutzt, daher sei
Ω
−
Ω
0
⊂
Ω
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet für welches
Ω
gilt. Der Vorwärtsoperator
A
ist also folgendermaßen definiert:
∈
Ω
:
(
)(
)=(
∗
)(
)=
(
−
)
(
)
x
Au
x
u
k
x
u
x
y
k
y
d
y
.
Ω
, linear und stetig zwischen
L
q
Nach Satz 3.13 bildet
A
, für beliebiges 1
≤
q
<
∞
(
Ω
)
und
L
q
(Ω
)
ab. Darüber hinaus werden durch
A
konstante Funktionen auf
Ω
in konstante
Ω
überführt,
A
ist demnach injektiv auf
1
.
Funktionen auf
Π
d
, so liefert Satz 6.86 die
Existenz eines eindeutigen Minimierers für das Tichonow-Funktional
Wählen wir 1
<
p
≤
q
<
∞
und
q
≤
pd
/
(
d
−
p
)
falls
p
<
1
q
+
p
u
0
q
d
x
p
d
x
min
Ω
|
u
∗
k
−
|
Ω
|∇
u
|
(6.41)
L
q
u
∈
(Ω)
für jedes
u
0
L
q
(
Ω
)
∈
und
λ
>
0.
Untersuchen wir einige Eigenschaften der Lösung
u
∗
des Entfaltungsproblems, sie-
he auch Abbildung 6.13. Da die Faltung konstante Funktionen auf konstante Funktio-
nen abbildet, gilt im Fall
q
=
Ω
u
0
d
x
(siehe auch Übungs-
aufgabe 6.29). Die analoge Herleitung eines Maximumprinzip wie in Satz 6.95 ist aller-
dings nicht möglich.
2 die Identität
Ω
u
∗
d
x
=
