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Beweis.
Bezeichnen wir mit
F
das Funktional in (6.39) und setzen dort die Funktion
u
min
R
, max
L
,
u
∗
)
ein. Ist
u
∗
(
u
0
u
0
=
(
x
)
≥
R
, so folgt
|
u
(
x
)
−
(
x
)
|
=
R
−
(
x
)
≤
u
∗
(
u
0
u
0
u
∗
(
u
0
falls
u
∗
(
|
)
−
(
)
|
|
(
)
−
(
)
|≤|
)
−
(
)
|
)
≤
x
x
, analog ergibt sich
u
x
x
x
x
x
L
.
Zusammen bekommt man
1
q
1
q
u
0
q
d
x
u
∗
(
u
0
q
d
x
.
Ω
|
u
(
x
)
−
(
x
)
|
≤
Ω
|
x
)
−
(
x
)
|
u
∗
fast-überall auf
H
1,
p
Weiterhin ist
u
∈
(
Ω
)
, siehe Lemma 6.75, mit Ableitung
∇
u
=
∇
u
∗
≤
{
≤
}
∇
=
L
R
und
u
0 fast-überall sonst. Also gilt
1
p
1
p
p
d
x
u
∗
|
p
d
x
,
Ω
|∇
|
≤
Ω
|∇
u
u
∗
)
und da
u
∗
der eindeutige Minimierer ist,
u
∗
=
(
)
≤
(
folglich
F
u
F
u
. Aus der Ko
n-
struktion von
u
ergibt sich schließlich die Behauptung.
Damit werden Bilder in
u
0
L
∞
(
Ω
)
wieder auf Bilder in
L
∞
(
Ω
)
abgebildet, insbe-
sondere kann es im Wesentlichen nicht passieren, dass
u
∗
Werte außerhalb des Intervalls
annimmt, in dem sich die Werte von
u
0
befinden. Dies lässt sich gut in den Abbildun-
gen 6.11 und 6.12 beobachten, die einige numerische Ergebnisse für verschiedene Para-
meter
p
,
q
zeigen und diskutieren.
Betrachten wir als nächstes die Euler-Lagrange-Gleichungen für (6.39), indem wir
den Subgradienten bestimmen. Der Datenterm
∈
q
q
ist stetig, daher kann
man die Summe „auseinanderziehen“ (Satz 6.51). Der Subgradient von
1
q
u
0
Φ
=
·−
Φ
genügt
u
0
q
−
2
u
0
∂
Φ(
)=
|
−
|
(
−
)
und die Anwendung von Lemma 6.91 liefert zusammen
mit der Optimalitätsbedingung für Subgradienten (Satz 6.43):
u
u
u
div
u
∗
u
∗
−
u
0
q
−
2
u
∗
−
u
0
u
∗
|
p
−
2
|
|
(
)
− λ
|∇
∇
=
0in
Ω
(6.40)
u
∗
|
p
−
2
u
∗
· ν
=
|∇
∇
0
auf
∂
Ω
.
Die Lösung
u
∗
genügt damit, zumindest formal, einer nichtlinearen partiellen Differen-
tialgleichung:
G
x
,
u
∗
(
u
∗
(
2
u
∗
(
−
x
)
,
∇
x
)
,
∇
x
)
=
0in
Ω
,
2
trace
id
Q
2
u
0
u
|ξ|
⊗
ξ
ξ
u
0
q
−
p
−
G
(
x
,
u
,
ξ
,
Q
)=
|
u
−
(
x
)
|
(
x
)
−
+
λ
|
ξ
|
+(
p
−
2
)
|ξ|
mit entsprechenden Randbedingungen. Die Funktion
G
ist (degeneriert) elliptisch im
Sinne von Satz 5.11 (siehe auch Definition 5.10). Ist
p
=
2, so entspricht der Anteil zwei-
ter Ordnung dem mit
λ
gewichteten Laplace-Operator, welcher sich analytisch gut be-
ξ
=
<
handeln lässt. Für
0 liegt jedoch im Falle
p
2 eine Singularität in
G
vor, während
diese Funktion im Fall
p
>
2 dort unabhängig von
Q
ist, der assoziierte Differentialope-
rator also degeneriert.
Dies macht die Analyse der Lösungen im Allgemeinen kompliziert; man kann je-
doch zum Beispiel für
u
0
zeigen, dass
u
∗
im Inneren von
L
∞
(
Ω
)
∈
Ω
m
ehr
Regularität
als
H
1,
p
2 gilt
u
∗
∈
H
2,
p
(Ω
)
Ω
mit
(Ω)
≤
Ω
⊂⊂
Ω
aufweisen muss: Für
p
für
und
