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A
∗
w
∗
,
u
∗
≤
u
∗
)+
−
(
und da nun nach der Fenchel-Ungleichung (6.22) stets
F
1
F
1
(
−
A
∗
w
∗
)
w
∗
,
Au
∗
≤
Au
∗
)+
F
2
(
w
∗
)
sowie
F
2
(
ist dies wiederum äquivalent zu
A
∗
w
∗
,
u
∗
=
u
∗
)+
F
1
(
−
A
∗
w
∗
)
w
∗
,
Au
∗
=
Au
∗
)+
F
2
(
w
∗
)
−
(
(
F
1
und
F
2
.
A
∗
w
∗
∈
∂
u
∗
)
und
w
∗
∈
∂
Au
∗
)
Letzteres charakterisiert allerdings genau
−
F
1
(
F
2
(
, sie
he
Bemerkung 6.61.
Beispiel 6.71
Untersuchen wir einen Spezialfall der Tichonow-Funktionale aus Beispiel 6.32: Seien
X
ein reflexiver Banach-Raum,
Y
ein Hilbert-Raum und
A
∈L
(
X
,
Y
)
ein gegebener
Vorwärtsoperator. Setzen wir
1
2
u
0
2
F
1
(
u
)=
λ
u
X
,
F
2
(
v
)=
v
−
Y
,
so ergibt das primale Problem (6.24)
u
0
2
Y
∈X
Au
−
min
u
+
λ
u
X
,
2
die Minimierung eines Tichonow-Funktionals. Nach Beispiel 6.32 existiert für diese
Aufgabe ein Minimierer. Weiterhin ist
F
2
überall stetig, wir können also Satz 6.68 an-
wenden. Dazu rechnen wir mit Beispiel 6.64 sowie Lemma 6.65 und bekommen
0
2
Y
u
0
2
Y
u
0
2
Y
falls
ω
X
∗
≤
λ
)=
w
)=
w
+
−
F
1
(
ω
)=
,
F
2
(
w
,
u
0
w
+(
.
2
2
2
∞
sonst
X
∗
. Das zugehörige
duale Problem ist eine restringierte Maximierungsaufgabe, nämlich
Y
∗
und interpretieren auch
A
∗
:
Y
Hier identifizieren wir
Y
=
→
u
0
2
Y
u
0
2
Y
X
∗
≤
λ
−
w
+
+
max
.
2
2
−
A
∗
w
Substituiert man
w
=
−
w
, wechselt das Vorzeichen und vernachlässigt man Konstan-
ten, so sieht man, dass dies äquivalent ist zu einem Projektionsproblem im Hilbert-
Raum:
u
0
2
Y
−
w
w
∗
=
w
∗
=
u
0
⇔
{A
∗
w
X
∗
≤λ}
(
)
arg min
A
∗
w
X
∗
≤λ
P
.
2
Das optimale
w
∗
=
−
w
∗
und jede Lösung
u
∗
des primalen Problems erfüllt (6.27), ins-
besondere ist
w
∗
∈
∂F
2
(
Au
∗
)
⇔
w
∗
=
Au
∗
−
u
0
Au
∗
=
u
0
w
∗
.
⇔
−
Insbesondere muss
u
0
w
∗
im Bild von
A
liegen, auch wenn dieses nicht abgeschlossen
ist. Falls nun
A
injektiv ist, so kann man die (nicht notwendigerweise stetige) Inverse
anwenden und bekommt
−
A
−
1
u
0
)
.
u
∗
=
u
0
−
P
{A
∗
w
X
∗
≤λ}
(
Damit haben wir eine Lösungsformel für die Minimierungsaufgabe gefunden und auf
diesem Wege die Korrektheit des Spezialfalls
A
=
I
in Beispiel 6.56 nachgewiesen.
